Bài toán gốc
Với $a$, $b$ là các tham số thực. Giá trị tích phân $\displaystyle\int\limits _0^b\left(3x^2-2ax-1\right)\mathrm{d}x$ bằng
A. $b^3+b^2a+b$.
B. $3b^2-2ab-1$. *
C. $b^3-b^2a-b$.
D. $b^3-ba^2-b$.
Lời giải:
Ta có $\displaystyle\int \limits_0^b\left(3x^2-2ax-1\right)\mathrm{d}x$ $=\left. \left(x^3-ax^2-x\right)\right|_0^b$ $=b^3-ab^2-b$.
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán là tính tích phân xác định của hàm đa thức có chứa tham số, với cận tích phân là biến (hoặc hằng số). Phương pháp giải là tìm nguyên hàm của hàm số dưới dấu tích phân và áp dụng Định lí cơ bản của giải tích (công thức Newton-Leibniz): $\displaystyle\int\limits _A^B f(x)\mathrm{d}x = F(B) – F(A)$, trong đó $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$.
Bài toán tương tự
1. Tính tích phân $I = \displaystyle\int\limits _1^a\left(4x^3-6kx\right)\mathrm{d}x$ với $a, k$ là các tham số thực ($a>1)$.
A. $a^4 – 3ka^2 + 3k – 1$.
B. $a^4 – 3ka^2 – 1$.
C. $a^4 – 6ka^2 + 6k – 1$.
D. $4a^3 – 6ka – 4 + 6k$.
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Nguyên hàm của $f(x) = 4x^3 – 6kx$ là $F(x) = x^4 – 3kx^2$. $I = F(a) – F(1) = (a^4 – 3ka^2) – (1^4 – 3k(1)^2) = a^4 – 3ka^2 – 1 + 3k$.
2. Cho $a$ là tham số thực. Tính giá trị của tích phân $J = \displaystyle\int\limits _0^2\left(x^2+ax\right)\mathrm{d}x$.
A. $\dfrac{8}{3} + 2a$.
B. $4 + 2a$.
C. $\dfrac{4}{3} + a$.
D. $\dfrac{8}{3} + 4a$.
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: $J = \left. \left(\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{ax^2}{2}\right)\right|_0^2 = \left(\dfrac{2^3}{3}+\dfrac{a(2^2)}{2}\right) – (0) = \dfrac{8}{3} + 2a$.
3. Với $m$ là tham số thực. Tính tích phân $K = \displaystyle\int\limits _{-1}^1\left(2x^3 – m\right)\mathrm{d}x$.
A. $0$.
B. $-2m$.
C. $2m$.
D. $-m$.
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: $K = \left. \left(\dfrac{2x^4}{4}-mx\right)\right|_{-1}^1 = \left(\dfrac{1}{2}-m\right) – \left(\dfrac{1}{2}+m\right) = -2m$.
4. Cho $k$ là tham số thực. Tính tích phân $L = \displaystyle\int\limits _0^{k}\left(6x^2+4x-2\right)\mathrm{d}x$.
Đáp án: $2k^3 + 2k^2 – 2k$.
Lời giải ngắn gọn: $L = \left. \left(2x^3+2x^2-2x\right)\right|_0^k = (2k^3+2k^2-2k) – (0) = 2k^3 + 2k^2 – 2k$.
5. Cho $c$ là tham số thực. Tính tích phân $M = \displaystyle\int\limits _{c}^{2c}\left(2x+3
ight)\mathrm{d}x$.
A. $3c^2 + 3c$.
B. $5c^2 + 3c$.
C. $3c^2 – 3c$.
D. $4c^2 + 3c$.
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Nguyên hàm là $F(x) = x^2 + 3x$. $M = F(2c) – F(c) = \left((2c)^2 + 3(2c)\right) – \left(c^2 + 3c\right) = (4c^2 + 6c) – (c^2 + 3c) = 3c^2 + 3c$.