Bài toán gốc
$\displaystyle\int\limits_{0}^{5} \abs{x-2}\text{d}x$ bằng *
A. $\dfrac{13}{2}$.
B. $\dfrac{21}{2}$.
C. $\dfrac{15}{2}$.
D. $\dfrac{19}{2}$.
Lời giải:
Ta có $\displaystyle\int\limits_{0}^{5} \abs{x-2}\text{d}x$ $=\displaystyle\int\limits_{0}^{2} \abs{x-2}\text{d}x+\displaystyle\int\limits_{2}^{5} \abs{x-2}\text{d}x=\displaystyle\int\limits_{0}^{2} \left(-x+2\right)\text{d}x+\displaystyle\int\limits_{2}^{5} \left(x-2\right)\text{d}x$ $=\left(- \dfrac{1}{2}x^2+2x\right)\bigg|_{0}^{2}+\left(\dfrac{1}{2}x^2-2x\right)\bigg|_{2}^{5}$ $=\left[\left(-2+4\right)-\left(0+0\right) \right]+\left[\left(\dfrac{25}{2}-10\right)-\left(2-4\right) \right]=\dfrac{13}{2}$.
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng toán tính tích phân xác định của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối, cụ thể là $\int_a^b |x-c| dx$. Phương pháp giải là sử dụng tính chất tách tích phân: $\int_a^b |f(x)| dx = \int_a^c f_1(x) dx + \int_c^b f_2(x) dx$, trong đó $c$ là điểm mà biểu thức bên trong giá trị tuyệt đối đổi dấu ($f(c)=0$) và $a < c < b$. Sau khi khử dấu giá trị tuyệt đối trên từng khoảng, ta tính các tích phân cơ bản.
Bài toán tương tự
Câu 1: Tính tích phân $\displaystyle\int\limits_{1}^{4} \abs{x-3}\text{d}x$.
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. $\dfrac{5}{2}$.
Đáp án đúng: D.
Giải thích: Điểm đổi dấu là $x=3 \in [1, 4]$. Ta có $\int_{1}^{4} |x-3| dx = \int_{1}^{3} (3-x) dx + \int_{3}^{4} (x-3) dx$. Kết quả là $\left(3x – \frac{x^2}{2}\right)\bigg|_{1}^{3} + \left(\frac{x^2}{2} – 3x\right)\bigg|_{3}^{4} = \left(\frac{9}{2} – \frac{5}{2}\right) + \left(-4 – \left(-\frac{9}{2}\right)\right) = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.
Câu 2: Tính $\displaystyle\int\limits_{-1}^{3} \abs{2x}\text{d}x$.
A. 8.
B. 10.
C. 6.
D. 4.
Đáp án đúng: B.
Giải thích: Điểm đổi dấu là $x=0 \in [-1, 3]$. Ta có $\int_{-1}^{3} |2x| dx = \int_{-1}^{0} (-2x) dx + \int_{0}^{3} (2x) dx$. Kết quả là $\left(-x^2\right)\bigg|_{-1}^{0} + \left(x^2\right)\bigg|_{0}^{3} = (0 – (-1)) + (9 – 0) = 1 + 9 = 10$.
Câu 3: Tính tích phân $\displaystyle\int\limits_{-3}^{1} \abs{x+1}\text{d}x$.
A. 5.
B. 4.
C. 2.
D. 6.
Đáp án đúng: B.
Giải thích: Điểm đổi dấu là $x=-1 \in [-3, 1]$. Ta có $\int_{-3}^{1} |x+1| dx = \int_{-3}^{-1} -(x+1) dx + \int_{-1}^{1} (x+1) dx$. Kết quả là $\left(-\frac{x^2}{2} – x\right)\bigg|_{-3}^{-1} + \left(\frac{x^2}{2} + x\right)\bigg|_{-1}^{1} = 2 + 2 = 4$.
Câu 4: Tính $\displaystyle\int\limits_{0}^{2} \abs{2x-1}\text{d}x$.
A. $\dfrac{5}{2}$.
B. 1.
C. $\dfrac{5}{4}$.
D. $\dfrac{3}{2}$.
Đáp án đúng: A.
Giải thích: Điểm đổi dấu là $x=\dfrac{1}{2} \in [0, 2]$. Ta có $\int_{0}^{2} |2x-1| dx = \int_{0}^{1/2} (1-2x) dx + \int_{1/2}^{2} (2x-1) dx$. Kết quả là $\left(x – x^2\right)\bigg|_{0}^{1/2} + \left(x^2 – x\right)\bigg|_{1/2}^{2} = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.
Câu 5: Tính tích phân $\displaystyle\int\limits_{1}^{5} \abs{3-x}\text{d}x$.
A. 4.
B. 5.
C. 8.
D. 6.
Đáp án đúng: A.
Giải thích: Điểm đổi dấu là $x=3 \in [1, 5]$. Ta có $\int_{1}^{5} |3-x| dx = \int_{1}^{3} (3-x) dx + \int_{3}^{5} (x-3) dx$. Kết quả là $\left(3x – \frac{x^2}{2}\right)\bigg|_{1}^{3} + \left(\frac{x^2}{2} – 3x\right)\bigg|_{3}^{5} = 2 + 2 = 4$.