Bài toán gốc
Cho hàm số $y=f(x)=\left\{\begin{array}{l}-3x^2-2x+5\text{ khi } x\geq 1\\-2x-3\text{ khi }x{<}1\end{array}\right.$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ và $F(-1)=7,F(3)=-23$. Tính $F(-4)+F(6)$.
A. $-226$. *
B. $-223$.
C. $-224$.
D. $-221$.
Lời giải:
Cách 1. $F_1(x)=-x^3-x^2+5x+C_1$ $F_2(x)=-x^2-3x+C_2$ Do $F(-1)=F_2(-1)=7$ nên $C_2=5$ Suy ra $F(-4)=F_2(-4)=1$ Do $F(3)=F_1(-1)=-23$ nên $C_1=-2$ Suy ra $F(6)=F_1(6)=-224$ Cách 2. $F(-4)+F(6)=\int\limits_{-1}^{-4}f(x)\text{d}x+F(-1)+\int\limits_{3}^{6}f(x)\text{d}x+F(3)$.
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng bài toán tìm giá trị của nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)$ được cho dưới dạng hàm số từng khúc (hàm đa thức chia nhánh). Vì $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$, $F(x)$ phải liên tục trên toàn miền xác định. Phương pháp giải bao gồm: 1. Tìm biểu thức tổng quát của $F(x)$ cho từng miền, bao gồm các hằng số tích phân $C_1, C_2$. 2. Sử dụng điều kiện liên tục tại điểm chuyển tiếp (ví dụ $x=1$ trong bài toán gốc) để liên hệ giữa $C_1$ và $C_2$. 3. Sử dụng các điều kiện ban đầu cho trước (ví dụ $F(-1)=7, F(3)=-23$) để xác định giá trị cụ thể của $C_1$ và $C_2$. 4. Tính toán giá trị $F(a)$ và $F(b)$ theo yêu cầu.
Bài toán tương tự
1. Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{l}3x^2+6x+1\text{ khi } x\geq 2\\-4x+5\text{ khi }x{<}2\end{array}\right.$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Biết $F(3)=37$ và $F(1)=3$. Tính $F(0)+F(4)$.\n\nA. 96.\nB. 98.\nC. 94.\nD. 100.\n\nĐáp án đúng: A. 96.\nLời giải ngắn gọn: $F_1(x) = x^3 + 3x^2 + x + C_1$ (khi $x \geq 2$) và $F_2(x) = -2x^2 + 5x + C_2$ (khi $x < 2$). Dùng $F(1)=3$ ta được $C_2=0$. Để $F(x)$ liên tục tại $x=2$, $F_1(2)=F_2(2)=2$, suy ra $22+C_1=2 \implies C_1 = -20$. Ta có $F(0) = F_2(0) = 0$. $F(4) = F_1(4) = 4^3 + 3(4^2) + 4 - 20 = 96$. Vậy $F(0)+F(4) = 96$.*\n\n2. Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{l}6x^2-1\text{ khi } x\geq 0\\2x+4\text{ khi }x{<}0\end{array}\right.$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Biết $F(-2)=0$ và $F(1)=5$. Tính $F(-3)$.\n\nA. 1.\nB. 2.\nC. 0.\nD. -1.\n\nĐáp án đúng: A. 1.\nLời giải ngắn gọn: $F_1(x) = 2x^3 - x + C_1$ (khi $x \geq 0$) và $F_2(x) = x^2 + 4x + C_2$ (khi $x < 0$). Dùng $F(1)=5$ ta được $C_1=4$. Để $F(x)$ liên tục tại $x=0$, $F_1(0)=F_2(0)=4$, suy ra $C_2=4$. $F(-3) = F_2(-3) = (-3)^2 + 4(-3) + 4 = 9 - 12 + 4 = 1$.*\n\n3. Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{l}12x^2+1\text{ khi } x\geq -1\\-3x^2+2x\text{ khi }x{<}-1\end{array}\right.$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Biết $F(-2)=12$ và $F(0)=7$. Tính $F(1)$.\n\nA. 10.\nB. 12.\nC. 14.\nD. 16.\n\nĐáp án đúng: B. 12.\nLời giải ngắn gọn: $F_1(x) = 4x^3 + x + C_1$ (khi $x \geq -1$) và $F_2(x) = -x^3 + x^2 + C_2$ (khi $x < -1$). Dùng $F(0)=7$ ta được $C_1=7$. Để $F(x)$ liên tục tại $x=-1$, $F_1(-1)=F_2(-1)=2$, suy ra $2 + C_2=2 \implies C_2 = 0$. $F(1) = F_1(1) = 4(1)^3 + 1 + 7 = 12$.*\n\n4. Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{l}2x-3\text{ khi } x\geq 4\\8x^3+1\text{ khi }x{<}4\end{array}\right.$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Biết $F(5)=527$ và $F(0)=5$. Tính $F(3)$.\n\nA. 170.\nB. 165.\nC. 174.\nD. 180.\n\nĐáp án đúng: A. 170.\nLời giải ngắn gọn: $F_2(x) = 2x^4 + x + C_2$ (khi $x < 4$) và $F_1(x) = x^2 - 3x + C_1$ (khi $x \geq 4$). Dùng $F(0)=5$ ta được $C_2=5$. Liên tục tại $x=4$: $F_2(4)=521$. $F_1(4)=4+C_1$, suy ra $C_1=517$. $F(3) = F_2(3) = 2(3^4) + 3 + 5 = 162 + 8 = 170$.*\n\n5. Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-6x^2+4x-1\text{ khi } x\geq -2\\3x^2+2x+2\text{ khi }x{<}-2\end{array}\right.$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Biết $F(-3)=0$ và $F(-1)=-5$. Tính $F(-4)+F(1)$.\n\nA. -43.\nB. -40.\nC. -46.\nD. -39.\n\nĐáp án đúng: A. -43.\nLời giải ngắn gọn: $F_1(x) = -2x^3 + 2x^2 - x + C_1$. Dùng $F(-1)=-5$ ta được $5+C_1=-5 \implies C_1=-10$. $F_2(x) = x^3 + x^2 + 2x + C_2$. Liên tục tại $x=-2$: $F_1(-2)=16$. $F_2(-2)=-8+C_2$, suy ra $C_2=24$. $F(-4) = F_2(-4) = -64 + 16 - 8 + 24 = -32$. $F(1) = F_1(1) = -2+2-1-10 = -11$. Tổng $F(-4)+F(1) = -32 + (-11) = -43.$