Biết $y=f(x)$ là hàm số chẵn và $\int\limits_{-4}^{4}f(x)\text{d}x=7$. Tính $\int\limits_{0}^{4}2f(x)\text{d}x$

Bài toán gốc

Biết $y=f(x)$ là hàm số chẵn và $\int\limits_{-4}^{4}f(x)\text{d}x=7$. Tính $\int\limits_{0}^{4}2f(x)\text{d}x$
A. $9$. *
B. $7$.
C. $5$.
D. $8$.

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán sử dụng tính chất đối xứng của hàm số (hàm chẵn) để tính tích phân. Phương pháp giải dựa trên tính chất: Nếu $f(x)$ là hàm chẵn trên $[-a, a]$, thì $\int_{-a}^{a} f(x) \text{d}x = 2 \int_{0}^{a} f(x) \text{d}x$. Sau đó áp dụng tính chất hằng số nhân: $\int_{a}^{b} c\cdot f(x) \text{d}x = c \cdot \int_{a}^{b} f(x) \text{d}x$. Trong bài toán gốc, $\int_{0}^{4}f(x)\text{d}x = \frac{1}{2}\int_{-4}^{4}f(x)\text{d}x = \frac{7}{2}$. Do đó, $\int_{0}^{4}2f(x)\text{d}x = 2 \cdot \frac{7}{2} = 7$.

Bài toán tương tự

Câu 1. Cho hàm số $f(x)$ là hàm số chẵn và liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $\int_{-3}^{3}f(x)\text{d}x=14$. Tính giá trị của tích phân $I = \int_{0}^{3}5f(x)\text{d}x$.
A. 35.
B. 70.
C. 14.
D. 28.

Đáp án đúng: A. 35.
Lời giải ngắn gọn: Vì $f(x)$ là hàm chẵn nên $\int_{-3}^{3}f(x)\text{d}x = 2\int_{0}^{3}f(x)\text{d}x$. Suy ra $14 = 2\int_{0}^{3}f(x)\text{d}x$, do đó $\int_{0}^{3}f(x)\text{d}x = 7$.
Vậy $I = \int_{0}^{3}5f(x)\text{d}x = 5\int_{0}^{3}f(x)\text{d}x = 5 \cdot 7 = 35$.

Câu 2. Cho hàm số $f(x)$ là hàm số chẵn và liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $\int_{0}^{2}f(x)\text{d}x=5$. Tính giá trị của tích phân $I = \int_{-2}^{2}4f(x)\text{d}x$.
A. 20.
B. 40.
C. 10.
D. 80.

Đáp án đúng: B. 40.
Lời giải ngắn gọn: Vì $f(x)$ là hàm chẵn nên $\int_{-2}^{2}f(x)\text{d}x = 2\int_{0}^{2}f(x)\text{d}x = 2 \cdot 5 = 10$.
Vậy $I = \int_{-2}^{2}4f(x)\text{d}x = 4\int_{-2}^{2}f(x)\text{d}x = 4 \cdot 10 = 40$.

Câu 3. Cho hàm số $g(x)$ là hàm số lẻ và liên tục trên $[-1, 1]$. Tính tích phân $I = \int_{-1}^{1}(3g(x) + 7)\text{d}x$.
A. 0.
B. 14.
C. 6.
D. 7.

Đáp án đúng: B. 14.
Lời giải ngắn gọn: Tách tích phân $I = \int_{-1}^{1}3g(x)\text{d}x + \int_{-1}^{1}7\text{d}x$.
Vì $g(x)$ là hàm lẻ nên $\int_{-1}^{1}g(x)\text{d}x = 0$, suy ra $\int_{-1}^{1}3g(x)\text{d}x = 0$.
Ta có $\int_{-1}^{1}7\text{d}x = 7x \Big|_{-1}^{1} = 7(1) – 7(-1) = 7 + 7 = 14$.
Vậy $I = 0 + 14 = 14$.

Câu 4. Cho $f(x)$ là hàm số chẵn và $g(x)$ là hàm số lẻ, xác định trên $[-5, 5]$. Biết $\int_{0}^{5} f(x) \text{d}x = 9$ và $\int_{-5}^{5} g(x) \text{d}x = 0$. Tính $I = \int_{-5}^{5} (f(x) + 1)\text{d}x$.
A. 18.
B. 28.
C. 8.
D. 25.

Đáp án đúng: B. 28.
Lời giải ngắn gọn: $I = \int_{-5}^{5} f(x) \text{d}x + \int_{-5}^{5} 1 \text{d}x$.
Vì $f(x)$ chẵn nên $\int_{-5}^{5} f(x) \text{d}x = 2\int_{0}^{5} f(x) \text{d}x = 2 \cdot 9 = 18$.
Ta có $\int_{-5}^{5} 1 \text{d}x = x \Big|_{-5}^{5} = 5 – (-5) = 10$.
Vậy $I = 18 + 10 = 28$.

Câu 5. Cho hàm số $f(x)$ là hàm số chẵn trên $\mathbb{R}$ và $\int_{-1}^{1} \frac{1}{3}f(x)\text{d}x = 6$. Tính $\int_{0}^{1} f(x)\text{d}x$.
A. 18.
B. 9.
C. 3.
D. 6.

Đáp án đúng: B. 9.
Lời giải ngắn gọn: Từ giả thiết, ta có $\frac{1}{3} \int_{-1}^{1} f(x)\text{d}x = 6$, suy ra $\int_{-1}^{1} f(x)\text{d}x = 18$.
Vì $f(x)$ là hàm chẵn nên $\int_{-1}^{1} f(x)\text{d}x = 2\int_{0}^{1} f(x)\text{d}x$.
Ta có $18 = 2\int_{0}^{1} f(x)\text{d}x$. Vậy $\int_{0}^{1} f(x)\text{d}x = 9$.