Tích phân $\displaystyle\int \limits_0^1\left(3x+1\right)\left(x+3\right)\mathrm{d}x$ bằng

Bài toán gốc

Tích phân $\displaystyle\int \limits_0^1\left(3x+1\right)\left(x+3\right)\mathrm{d}x$ bằng *
A. $9$.
B. $5$.
C. $6$.
D. $12$.

Lời giải:

Ta có $\displaystyle\int\limits _0^1\left(3x+1\right)\left(x+3\right)\mathrm{d}x=\displaystyle\int\limits _0^1\left(3x^2+10x+3\right)\mathrm{d}x=\left. \left(x^3+5x^2+3x\right)\right|_0^1=9$. Vậy $\displaystyle\int\limits _0^1\left(3x+1\right)\left(x+3\right)\mathrm{d}x=9$.

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán là tính tích phân xác định của hàm đa thức. Phương pháp giải là khai triển biểu thức tích hai nhân tử tuyến tính dưới dấu tích phân thành dạng đa thức $Ax^2+Bx+C$, sau đó sử dụng công thức tích phân cơ bản $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ và áp dụng Định lý cơ bản của Giải tích (Công thức Newton-Leibniz) để tính giá trị tích phân trên các cận cho trước.

Bài toán tương tự

5 bài toán tương tự:

**1. Tích phân $\displaystyle\int \limits_1^2 (2x-1)(x+2) \mathrm{d}x$ bằng
A. $\frac{41}{6}$. B. $\frac{43}{6}$. C. $\frac{45}{6}$. D. $\frac{47}{6}$.
Đáp án đúng:** B. $\frac{43}{6}$.
**Lời giải ngắn gọn:** Ta có $\displaystyle\int \limits_1^2 (2x-1)(x+2) \mathrm{d}x = \displaystyle\int \limits_1^2 (2x^2+3x-2) \mathrm{d}x = \left. \left(\frac{2x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}-2x\right)\right|_1^2$. Thay cận: $\left(\frac{16}{3}+6-4\right) – \left(\frac{2}{3}+\frac{3}{2}-2\right) = \frac{22}{3} – \frac{1}{6} = \frac{43}{6}$.

**2. Tính giá trị của tích phân $I = \displaystyle\int \limits_0^2 x(x^2 + 3) \mathrm{d}x$.
A. $10$. B. $8$. C. $12$. D. $4$.
Đáp án đúng:** A. $10$.
**Lời giải ngắn gọn:** Ta có $I = \displaystyle\int \limits_0^2 (x^3 + 3x) \mathrm{d}x = \left. \left(\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2}\right)\right|_0^2$. Thay cận: $\left(\frac{2^4}{4} + \frac{3(2^2)}{2}\right) – 0 = (4 + 6) = 10$.

**3. Tích phân $I = \displaystyle\int \limits_{-1}^0 (4x+3)(x-1) \mathrm{d}x$ bằng
A. $\frac{7}{6}$. B. $-\frac{7}{6}$. C. $0$. D. $-\frac{5}{6}$.
Đáp án đúng:** B. $-\frac{7}{6}$.
**Lời giải ngắn gọn:** Ta có $I = \displaystyle\int \limits_{-1}^0 (4x^2 – x – 3) \mathrm{d}x = \left. \left(\frac{4x^3}{3} – \frac{x^2}{2} – 3x\right)\right|_{-1}^0$. Thay cận: $0 – \left(\frac{4(-1)^3}{3} – \frac{(-1)^2}{2} – 3(-1)\right) = -\left(-\frac{4}{3} – \frac{1}{2} + 3\right) = -\left(\frac{-8 – 3 + 18}{6}\right) = -\frac{7}{6}$.

**4. Tính tích phân $I = \displaystyle\int \limits_0^1 (5x-2)(x+1) \mathrm{d}x$.
A. $\frac{7}{6}$. B. $\frac{5}{6}$. C. $1$. D. $\frac{3}{2}$.
Đáp án đúng:** A. $\frac{7}{6}$.
**Lời giải ngắn gọn:** $I = \displaystyle\int \limits_0^1 (5x^2 + 3x – 2) \mathrm{d}x = \left. \left(\frac{5x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} – 2x\right)\right|_0^1$. Thay cận: $\left(\frac{5}{3} + \frac{3}{2} – 2\right) – 0 = \frac{10 + 9 – 12}{6} = \frac{7}{6}$.

**5. Tích phân $I = \displaystyle\int \limits_0^2 (x-1)(x+1) \mathrm{d}x$ có giá trị là
A. $\frac{4}{3}$. B. $\frac{2}{3}$. C. $0$. D. $-\frac{2}{3}$.
Đáp án đúng:** B. $\frac{2}{3}$.
**Lời giải ngắn gọn:** $I = \displaystyle\int \limits_0^2 (x^2 – 1) \mathrm{d}x = \left. \left(\frac{x^3}{3} – x\right)\right|_0^2$. Thay cận: $\left(\frac{2^3}{3} – 2\right) – 0 = \frac{8}{3} – 2 = \frac{8-6}{3} = \frac{2}{3}$.