Bài toán gốc
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên đoạn $[2;3]$, $f(2)=2$ và $f(3)=5$. Khi đó $\displaystyle\int\limits_{2}^{3} f^{\prime}(x) \mathrm{ d}x$ bằng *
A. $3$.
B. $7$.
C. $-3$.
D. $10$.
Lời giải:
Ta có $\displaystyle\int\limits_{2}^{3} f^{\prime}(x) \mathrm{ d}x =f(x)\bigg|_{2}^{3}=f(3)-f(2)=5-2=3$.
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán: Tính tích phân xác định của hàm đạo hàm $f'(x)$ trên đoạn $[a; b]$. Phương pháp giải: Áp dụng Định lý cơ bản của Giải tích (công thức Newton – Leibniz): $\displaystyle\int\limits_{a}^{b} f^{\prime}(x) \mathrm{ d}x = f(x)\bigg|_{a}^{b} = f(b) – f(a)$. Ta chỉ cần thay giá trị của hàm số tại hai cận.
Bài toán tương tự
**1.** Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên đoạn $[1; 4]$, biết $f(1)=3$ và $f(4)=10$. Khi đó $\displaystyle\int\limits_{1}^{4} f^{\prime}(x) \mathrm{ d}x$ bằng: A. $13$. B. $7$. C. $-7$. D. $3$. Đáp án đúng: B. Lời giải ngắn gọn: $\displaystyle\int\limits_{1}^{4} f^{\prime}(x) \mathrm{ d}x = f(4) – f(1) = 10 – 3 = 7$.**2.** Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Nếu $f(0)=8$ và $f(5)=1$, giá trị của tích phân $\displaystyle\int\limits_{0}^{5} f^{\prime}(x) \mathrm{ d}x$ là: A. $9$. B. $7$. C. $-7$. D. $-9$. Đáp án đúng: C. Lời giải ngắn gọn: $\displaystyle\int\limits_{0}^{5} f^{\prime}(x) \mathrm{ d}x = f(5) – f(0) = 1 – 8 = -7$.**3.** Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f'(x)$ liên tục trên $[-1; 2]$. Biết $f(-1)=-2$ và $f(2)=6$. Tính $I=\displaystyle\int\limits_{-1}^{2} f^{\prime}(x) \mathrm{ d}x$. A. $4$. B. $8$. C. $-8$. D. $2$. Đáp án đúng: B. Lời giải ngắn gọn: $I = f(2) – f(-1) = 6 – (-2) = 8$.**4.** Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên đoạn $[0; 1]$. Nếu $f(0)=-5$ và $f(1)=0$, giá trị của tích phân $\displaystyle\int\limits_{0}^{1} f^{\prime}(x) \mathrm{ d}x$ là: A. $-5$. B. $5$. C. $1$. D. $0$. Đáp án đúng: B. Lời giải ngắn gọn: $\displaystyle\int\limits_{0}^{1} f^{\prime}(x) \mathrm{ d}x = f(1) – f(0) = 0 – (-5) = 5$.**5.** Giả sử hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên đoạn $[e; 2e]$, biết $f(e)=-1$ và $f(2e)=4$. Giá trị của $\displaystyle\int\limits_{e}^{2e} f^{\prime}(x) \mathrm{ d}x$ là: A. $3$. B. $5$. C. $-5$. D. $4$. Đáp án đúng: B. Lời giải ngắn gọn: $\displaystyle\int\limits_{e}^{2e} f^{\prime}(x) \mathrm{ d}x = f(2e) – f(e) = 4 – (-1) = 5$.