Bài toán gốc
Tính $f(2)+1$. Biết $f'(x)=5x^3+4x-5$ và $f(1)=3$ *
A. $\dfrac{95}{4}$.
B. $\dfrac{97}{4}$.
C. $\dfrac{93}{4}$.
D. $23$.
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng toán tìm hàm số $f(x)$ khi biết đạo hàm $f'(x)$ và một điều kiện ràng buộc $f(x_0)=y_0$. Phương pháp giải là sử dụng phép toán nguyên hàm (hoặc tích phân) để tìm $f(x)$, sau đó sử dụng điều kiện đã cho để xác định hằng số tích phân $C$. Cuối cùng, thay giá trị $x$ cần tính vào hàm $f(x)$ vừa tìm được.
Cụ thể, $f(x) = \int f'(x) dx = F(x) + C$. Sử dụng điều kiện $f(x_0)=y_0$ để giải ra $C$.
Bài toán tương tự
{
“bai_toan_1”: {
“cau_hoi”: “(1) Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f'(x) = 3x^2 – 6x + 2$ và $f(1) = 5$. Tính giá trị của $f(3)+1$.”,
“dap_an_trac_nghiem”: [
“A. 11.”,
“B. 12.”,
“C. 10.”,
“D. 13.”
],
“dap_an_dung”: “B. 12.”,
“loi_giai_ngan_gon”: “Ta có $f(x) = \int (3x^2 – 6x + 2) dx = x^3 – 3x^2 + 2x + C$. Thay $f(1)=5$: $1^3 – 3(1)^2 + 2(1) + C = 5 \Rightarrow C = 5$. Do đó, $f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x + 5$. Tính $f(3) = 3^3 – 3(3^2) + 2(3) + 5 = 27 – 27 + 6 + 5 = 11$. Vậy $f(3)+1 = 11+1 = 12.”
},
“bai_toan_2”: {
“cau_hoi”: “(2) Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f'(x) = 2\cos x – 3\sin x$ và $f(0) = 4$. Tính giá trị của $f(\dfrac{\pi}{2})$.”,
“dap_an_trac_nghiem”: [
“A. 2.”,
“B. 3.”,
“C. 4.”,
“D. 5.”
],
“dap_an_dung”: “B. 3.”,
“loi_giai_ngan_gon”: “Ta có $f(x) = \int (2\cos x – 3\sin x) dx = 2\sin x + 3\cos x + C$. Thay $f(0)=4$: $2\sin(0) + 3\cos(0) + C = 4 \Rightarrow 0 + 3 + C = 4 \Rightarrow C=1$. Vậy $f(x) = 2\sin x + 3\cos x + 1$. Tính $f(\dfrac{\pi}{2}) = 2\sin(\dfrac{\pi}{2}) + 3\cos(\dfrac{\pi}{2}) + 1 = 2(1) + 3(0) + 1 = 3.”
},
“bai_toan_3”: {
“cau_hoi”: “(3) Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f'(x) = e^{2x} + 2x$ và $f(0) = 3$. Tính giá trị của biểu thức $2f(1) – e^2$.”,
“dap_an_trac_nghiem”: [
“A. 8.”,
“B. 6.”,
“C. 5.”,
“D. 7.”
],
“dap_an_dung”: “D. 7.”,
“loi_giai_ngan_gon”: “Ta có $f(x) = \int (e^{2x} + 2x) dx = \dfrac{1}{2}e^{2x} + x^2 + C$. Thay $f(0)=3$: $\dfrac{1}{2}e^0 + 0 + C = 3 \Rightarrow \dfrac{1}{2} + C = 3 \Rightarrow C = \dfrac{5}{2}$. Do đó $f(x) = \dfrac{1}{2}e^{2x} + x^2 + \dfrac{5}{2}$. Tính $f(1) = \dfrac{1}{2}e^2 + 1^2 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{1}{2}e^2 + \dfrac{7}{2}$. Vậy $2f(1) – e^2 = 2(\dfrac{1}{2}e^2 + \dfrac{7}{2}) – e^2 = (e^2 + 7) – e^2 = 7.”
},
“bai_toan_4”: {
“cau_hoi”: “(4) Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f'(x) = \dfrac{1}{x^3} + 4x$ (với $x>0$) và $f(1) = 6$. Tính $f(2)$.”,
“dap_an_trac_nghiem”: [
“A. $\dfrac{95}{8}$.”,
“B. $\dfrac{99}{8}$.”,
“C. $\dfrac{101}{8}$.”,
“D. $\dfrac{97}{8}$.”
],
“dap_an_dung”: “B. $\dfrac{99}{8}$.”,
“loi_giai_ngan_gon”: “Ta có $f(x) = \int (x^{-3} + 4x) dx = -\dfrac{1}{2}x^{-2} + 2x^2 + C = -\dfrac{1}{2x^2} + 2x^2 + C$. Thay $f(1)=6$: $-\dfrac{1}{2} + 2 + C = 6 \Rightarrow \dfrac{3}{2} + C = 6 \Rightarrow C = \dfrac{9}{2}$. Vậy $f(x) = -\dfrac{1}{2x^2} + 2x^2 + \dfrac{9}{2}$. Tính $f(2) = -\dfrac{1}{2(2^2)} + 2(2^2) + \dfrac{9}{2} = -\dfrac{1}{8} + 8 + \dfrac{36}{8} = 8 + \dfrac{35}{8} = \dfrac{64+35}{8} = \dfrac{99}{8}.”
},
“bai_toan_5”: {
“cau_hoi”: “(5) Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f'(x) = 12x^2 + 6x$ và $f(0) = 1$. Tính $f(1)+3$.”,
“dap_an_trac_nghiem”: [
“A. 11.”,
“B. 10.”,
“C. 12.”,
“D. 14.”
],
“dap_an_dung”: “A. 11.”,
“loi_giai_ngan_gon”: “Ta có $f(x) = \int (12x^2 + 6x) dx = 4x^3 + 3x^2 + C$. Thay $f(0)=1$: $4(0) + 3(0) + C = 1 \Rightarrow C = 1$. Do đó, $f(x) = 4x^3 + 3x^2 + 1$. Tính $f(1) = 4(1) + 3(1) + 1 = 8$. Vậy $f(1)+3 = 8+3 = 11.”
}
}