Bài toán gốc
Nếu $\displaystyle\int\limits_1^2f(x) \mathrm{d} x=-2$ và $\displaystyle\int\limits_2^3f(x) \mathrm{d} x=1$ thì $\displaystyle\int\limits_1^3f(x) \mathrm{d} x$ bằng
A. $-3$. *
B. $-1$.
C. $1$.
D. $3$.
Lời giải:
Ta có $\displaystyle\int\limits_1^3f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int\limits_1^2f(x) \mathrm{d} x+\displaystyle\int\limits_2^3f(x) \mathrm{d} x=-2+1=-1$.
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán yêu cầu tính tích phân xác định trên một đoạn lớn dựa trên giá trị của tích phân trên các đoạn con. Phương pháp giải sử dụng tính chất cộng đoạn (tính chất 3) của tích phân xác định: $\displaystyle\int\limits_a^c f(x) \mathrm{d} x = \displaystyle\int\limits_a^b f(x) \mathrm{d} x + \displaystyle\int\limits_b^c f(x) \mathrm{d} x$, với $a, b, c$ là các điểm bất kỳ trong tập xác định của hàm $f(x)$. Ngoài ra, có thể kết hợp với tính chất đổi cận: $\displaystyle\int\limits_a^b f(x) \mathrm{d} x = -\displaystyle\int\limits_b^a f(x) \mathrm{d} x$.
Bài toán tương tự
5 bài toán tương tự:
**1.** Nếu $\displaystyle\int\limits_0^4f(x) \mathrm{d} x=9$ và $\displaystyle\int\limits_4^7f(x) \mathrm{d} x=-5$ thì $\displaystyle\int\limits_0^7f(x) \mathrm{d} x$ bằng:
A. 14. B. 4. C. -4. D. -14.
Đáp án đúng: B.
Giải thích: Ta có $\displaystyle\int\limits_0^7f(x) \mathrm{d} x = \displaystyle\int\limits_0^4f(x) \mathrm{d} x + \displaystyle\int\limits_4^7f(x) \mathrm{d} x = 9 + (-5) = 4$.
**2.** Cho $\displaystyle\int\limits_{-1}^5f(x) \mathrm{d} x=12$ và $\displaystyle\int\limits_{-1}^2f(x) \mathrm{d} x=7$. Tính giá trị của $\displaystyle\int\limits_2^5f(x) \mathrm{d} x$.
A. 19. B. 5. C. -5. D. 12.
Đáp án đúng: B.
Giải thích: $\displaystyle\int\limits_2^5f(x) \mathrm{d} x = \displaystyle\int\limits_{-1}^5f(x) \mathrm{d} x – \displaystyle\int\limits_{-1}^2f(x) \mathrm{d} x = 12 – 7 = 5$.
**3.** Cho $\displaystyle\int\limits_3^8f(x) \mathrm{d} x=15$. Tính giá trị của $I = \displaystyle\int\limits_3^8[2f(x) – 1] \mathrm{d} x$.
A. 25. B. 30. C. 35. D. 40.
Đáp án đúng: A.
Giải thích: $I = 2\displaystyle\int\limits_3^8f(x) \mathrm{d} x – \displaystyle\int\limits_3^8 1 \mathrm{d} x = 2(15) – [x]_3^8 = 30 – (8 – 3) = 30 – 5 = 25$.
**4.** Nếu $\displaystyle\int\limits_0^3f(x) \mathrm{d} x=4$ và $\displaystyle\int\limits_5^3f(x) \mathrm{d} x=-2$ thì $\displaystyle\int\limits_0^5f(x) \mathrm{d} x$ bằng:
A. 2. B. 6. C. -2. D. 8.
Đáp án đúng: B.
Giải thích: Ta có $\displaystyle\int\limits_3^5f(x) \mathrm{d} x = -\displaystyle\int\limits_5^3f(x) \mathrm{d} x = -(-2) = 2$. Do đó, $\displaystyle\int\limits_0^5f(x) \mathrm{d} x = \displaystyle\int\limits_0^3f(x) \mathrm{d} x + \displaystyle\int\limits_3^5f(x) \mathrm{d} x = 4 + 2 = 6$.
**5.** Cho $\displaystyle\int\limits_{-2}^1 f(x) \mathrm{d} x = 6$. Tính $J = \displaystyle\int\limits_{1}^{-2} f(x) \mathrm{d} x$.
A. 6. B. -6. C. 0. D. 1.
Đáp án đúng: B.
Giải thích: Sử dụng tính chất đổi cận: $J = \displaystyle\int\limits_{1}^{-2} f(x) \mathrm{d} x = -\displaystyle\int\limits_{-2}^{1} f(x) \mathrm{d} x = -6$.