Bài toán gốc
Biết tích phân $\int \limits_{-1}^{3}{\frac{2 x + 1}{x + 5}\mathrm{d}x}=a+b\ln 2$, với $a,b\in \mathbb{R}$. Tính $P=a+b$.
A. $P=-4$.
B. $P=0$.
C. $P=17$. *
D. $P=-1$.
Lời giải:
$\int\limits_{-1}^{3}{\frac{2 x + 1}{x + 5}\mathrm{d}x}$= \int\limits_{-1}^{3} {(2- \frac{9}{x + 5})\mathrm{d}x}$= (2-9\ln |x + 5|) \bigg|_{-1}^{3}=8-9\ln 2$. Do đó: $a=8, b=-9$. Suy ra $P=a+b=-1$.
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán yêu cầu tính tích phân xác định của hàm phân thức hữu tỉ có bậc tử bằng bậc mẫu ($\/frac{Ax+B}{Cx+D}$). Phương pháp giải là thực hiện phép chia đa thức hoặc biến đổi đại số để tách hàm số dưới dấu tích phân thành tổng của một hằng số và một hàm phân thức cơ bản ($\/frac{A’}{x+D’}$). Sau đó, sử dụng công thức tích phân cơ bản $\int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a} \ln|ax+b| + C$ và áp dụng định lý Newton-Leibniz để tính toán giá trị tích phân, cuối cùng đồng nhất hệ số để tìm $a$ và $b$.
Bài toán tương tự
1. Bài toán tương tự 1:
Tính tích phân $I = \int_{1}^{3} {\frac{x}{x+1} \mathrm{d}x}$. Biết $I = a + b\ln 2$, với $a, b \in \mathbb{R}$. Tính $P = a + b$.
A. $P=3$. B. $P=1$. C. $P=0$. D. $P=2$.
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn:
Ta có $\frac{x}{x+1} = \frac{(x+1)-1}{x+1} = 1 – \frac{1}{x+1}$.
$I = \int_{1}^{3} {(1 – \frac{1}{x+1}) \mathrm{d}x} = [x – \ln|x+1|]_{1}^{3}$.
$I = (3 – \ln 4) – (1 – \ln 2) = 2 – (\ln 4 – \ln 2) = 2 – \ln(\frac{4}{2}) = 2 – \ln 2$.
Suy ra $a=2, b=-1$. $P = a+b = 2 + (-1) = 1$.
2. Bài toán tương tự 2:
Biết tích phân $\int_{0}^{2} {\frac{x+3}{x+1} \mathrm{d}x} = a + b\ln 3$, với $a, b \in \mathbb{R}$. Tính $P = a+2b$.
A. $P=6$. B. $P=4$. C. $P=2$. D. $P=8$.
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn:
Ta có $\frac{x+3}{x+1} = \frac{(x+1)+2}{x+1} = 1 + \frac{2}{x+1}$.
$I = \int_{0}^{2} {(1 + \frac{2}{x+1}) \mathrm{d}x} = [x + 2\ln|x+1|]_{0}^{2}$.
$I = (2 + 2\ln 3) – (0 + 2\ln 1) = 2 + 2\ln 3$.
Suy ra $a=2, b=2$. $P = a+2b = 2 + 2(2) = 6$.
3. Bài toán tương tự 3:
Cho tích phân $I = \int_{2}^{6} {\frac{5x}{x+2} \mathrm{d}x}$. Giả sử $I = a + b\ln 2$, với $a, b \in \mathbb{R}$. Tính giá trị của $a – b$.
A. $a-b=30$. B. $a-b=10$. C. $a-b=20$. D. $a-b=40$.
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn:
Ta có $\frac{5x}{x+2} = \frac{5(x+2)-10}{x+2} = 5 – \frac{10}{x+2}$.
$I = \int_{2}^{6} {(5 – \frac{10}{x+2}) \mathrm{d}x} = [5x – 10\ln|x+2|]_{2}^{6}$.
$I = (30 – 10\ln 8) – (10 – 10\ln 4) = 20 – 10(\ln 8 – \ln 4) = 20 – 10\ln 2$.
Suy ra $a=20, b=-10$. $a – b = 20 – (-10) = 30$.
4. Bài toán tương tự 4:
Cho tích phân $I = \int_{3}^{11} {\frac{x}{x+5} \mathrm{d}x}$. Giả sử $I = a + b\ln 2$. Tính giá trị của $P = a+b$.
A. $P=13$. B. $P=3$. C. $P=1$. D. $P=8$.
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn:
Ta có $\frac{x}{x+5} = 1 – \frac{5}{x+5}$.
$I = \int_{3}^{11} {(1 – \frac{5}{x+5}) \mathrm{d}x} = [x – 5\ln|x+5|]_{3}^{11}$.
$I = (11 – 5\ln 16) – (3 – 5\ln 8) = 8 – 5(\ln 16 – \ln 8) = 8 – 5\ln 2$.
Suy ra $a=8, b=-5$. $P = a+b = 8 + (-5) = 3$.
5. Bài toán tương tự 5:
Cho tích phân $I = \int_{0}^{1} {\frac{2x+3}{2x+1} \mathrm{d}x}$. Biết $I = a + b\ln 3$, với $a, b \in \mathbb{R}$. Tính $P = a^2 + b^2$.
A. $P=1$. B. $P=2$. C. $P=4$. D. $P=5$.
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn:
Ta có $\frac{2x+3}{2x+1} = \frac{(2x+1)+2}{2x+1} = 1 + \frac{2}{2x+1}$.
$I = \int_{0}^{1} {(1 + \frac{2}{2x+1}) \mathrm{d}x} = [x + \ln|2x+1|]_{0}^{1}$.
$I = (1 + \ln 3) – (0 + \ln 1) = 1 + \ln 3$.
Suy ra $a=1, b=1$. $P = a^2 + b^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.