Một bể nước hình hộp chữ nhật cao 1 m và có đáy là hình vuông cạnh 2 m. Ban đầu bể đầy nước. Người ta mở một cái vòi ở đáy, nước chảy ra với tốc độ tỷ lệ thuận với căn bậc hai của độ cao của nước tại bất kì thời điểm nào. Giả sử độ cao của nước trong bể tại thời điểm ${t}$ là ${h(t)}$ và ${V(t)}$ là thể tích của nước hiện tại sau ${t}$ phút mở vòi thì ta có ${V^{\prime}(t)=k \cdot \sqrt{h(t)}(k \in \mathbb{R})}$. Biết rằng, mực nước giảm 19 cm sau 2 phút, hỏi sau bao nhiêu phút thì bể cạn nước.
Lời giải
Trả lời: 20
Vì bể nước có dạng hình hộp chữ nhật có chiều cao ${h(t)}$ và có đáy luôn là hình vuông cạnh 2 m nên thể tích của hình hộp tại thời điểm ${t}$ là ${V(t)=2^2 . h(t)=4 h(t)}$
Suy ra ${V^{\prime}(t)=4 h^{\prime}(t)}$
Ta có ${V^{\prime}(t)=k \cdot \sqrt{h(t)} \Leftrightarrow 4 h^{\prime}(t)=k \cdot \sqrt{h(t)} \Leftrightarrow \dfrac{h^{\prime}(t)}{\sqrt{h(t)}}=\dfrac{k}{4} \Leftrightarrow(2 \sqrt{h(t)})^{\prime}=\dfrac{k}{4} \Leftrightarrow(\sqrt{h(t)})^{\prime}=\dfrac{k}{8}}$
Nguyên hàm 2 vế, ta được ${\sqrt{h(t)}=\int \dfrac{k}{8} {d} t=\dfrac{k}{8} t+C}$
Ta có độ cao của nước tại thời điểm ban đầu bằng 1 m tức ${h(0)=1}$ nên ta có ${\sqrt{h(0)}=\sqrt{1}=\dfrac{k}{8} \cdot 0+C \Rightarrow C=1}$
Suy ra ${\sqrt{h(t)}=\dfrac{k}{8} t+1}$
Lại có, sau 2 phút, mực nước giảm 19 cm (hay ${0,19 {m}}$ ) thì độ cao của nước trong bể bằng ${h=1-0,19=0,81}$ nên ta có ${h(2)=0,81}$
${\Leftrightarrow \sqrt{h(2)}=\sqrt{0,81}=\dfrac{k}{8} .2+1 \Leftrightarrow k=-0,4}$
Vậy ${\sqrt{h(t)}=\dfrac{-0,4}{8} t+1=-0,05 t+1}$
Bể cạn nước khi chiều cao của nước trong bể bằng 0 hay ${h(t)=0 \Rightarrow-0,05 t+1=0 \Rightarrow t=20}$.
Vậy sau 20 phút thì bể cạn nước.