Một bể ban đầu chứa đầy nước, bể có dạng hình trụ với chiều cao bằng 9 m và bán kính đáy bằng 2 m. Nước bắt đầu chảy ra từ một vòi nước ở đáy bể. Gọi ${V(t)}$ là thể tích chất lỏng đã thoát ra tại thời điểm ${t}$ (phút) sau khi mở vòi thì ${V^{\prime}(t)=k(45-t),(0 \leq t \leq 45)}$. Biết sau 15 phút độ cao của mực nước trong bể bằng 4 m.
Sau 42 phút, thể tích chất lỏng còn lại trong bể là bao nhiêu lít (làm tròn kết quả đến đơn vị).
Lời giải
Theo đề bài, ta có:
Chiều cao bể ${H=9 {m}}$
Bán kinh đáy bể ${R=2 {m}}$
Thể tích ban đầu của bể: ${V_{b e}=\pi R^2 H=\pi\left(2^2\right)(9)=36 \pi\left({m}^3\right)}$
Tốc độ thoát nước: ${V^{\prime}(t)=k(45-t)\left(m^3 / p h u t\right)}$.
Sau 15 phút, độ cao mực nước trong bể là 4 m.
${V(t)}$ là thể tích chất lỏng đã thoát ra tại thời điểm ${t}$ (phút) sau khi mở vòi.
Lấy nguyên hàm: ${V(t)=\int V^{\prime}(t) d t=\int k(45-t) d t}$
$V(t)=k\int{(45-t)}dt=k\left( \int{4}5dt-\int{t}dt \right)\Rightarrow V(t)=k\left( 45t-\dfrac{{{t}^{2}}}{2} \right)+C$
Biết tại thời điểm ban đầu ${(t=0)}$ bể đầy nước nên ${V(0)=0}$
${\Rightarrow V(0)=k\left(45.0-\dfrac{0^2}{2}\right)+C=0 \Rightarrow C=0}$. Vậy ${V(t)=k\left(45 t-\dfrac{t^2}{2}\right)}$.
Sau 15 phút, độ cao mực nước trong bể là 4 m, vậy nước thoát ra là 5 m.
Thể tích nước còn lại sau 15 phút là: $V(15)=\pi {{R}^{2}}h(15)=\pi \left( {{2}^{2}} \right)(4)=16\pi \left( {{m}^{3}} \right)$
Thể tích nước đã thoát ra sau 15 phút là: $V(15)={{V}_{be}}-{{V}_{conlai}}=36\pi -16\pi =20\pi$
Thay ${t=15}$ và ${V(15)=20 \pi}$ vào công thức ${V(t)}$ :
$\Rightarrow 20\pi =k\left( 45\cdot 15-\dfrac{{{15}^{2}}}{2} \right)\Rightarrow k(562,5)=20\pi \Rightarrow k=\dfrac{8\pi }{225}\Rightarrow V(t)=\dfrac{8\pi }{225}\left( 45t-\dfrac{{{t}^{2}}}{2} \right)$
Tính ${V(42)}$ : $V(42)=\dfrac{8\pi }{225}\left( 45\cdot 42-\dfrac{{{42}^{2}}}{2} \right)=\dfrac{8064\pi }{225}\left( {{m}^{3}} \right).$
Vậy thể tích chất lỏng còn lại trong bể là: $V=36\pi -\dfrac{8064\pi }{225}=\dfrac{36\pi }{225}=\dfrac{4\pi }{25}\left( {{m}^{3}} \right)$
Đổi: ${\Rightarrow V=\dfrac{4 \pi}{25} \cdot 1000=160 \pi \approx 503(l)}$
Kết quả: Sau 42 phút, thể tích chất lỏng còn lại trong bể là khoảng 503 lít.