Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left(2;5;-5\right),B\left(-1;4;-3\right),C\left(11;-21;11\right)$. Tìm tọa độ điểm $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$

Bài toán gốc

Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left(2;5;-5\right),B\left(-1;4;-3\right),C\left(11;-21;11\right)$. Tìm tọa độ điểm $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$
A. $G\left(13;-16;6\right)$ B. $G\left(1;9;-8\right)$ C. $G\left(4;-4;1\right)$ D. $G\left(10;-17;8\right)$

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng toán cơ bản về tọa độ trong không gian Oxyz, cụ thể là tìm tọa độ trọng tâm G của một tam giác ABC khi biết tọa độ ba đỉnh A, B, C. Phương pháp giải là áp dụng công thức tính tọa độ trọng tâm: $G\left(x_G; y_G; z_G\right)$ với $x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$, $y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$, và $z_G = \frac{z_A + z_B + z_C}{3}$.

Bài toán tương tự

1. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left(1; 2; 3\right), B\left(4; -1; 0\right), C\left(-2; 2; 3\right)$. Tọa độ trọng tâm $G$ của $\Delta ABC$ là:
A. $G\left(3; 3; 6\right)$ B. $G\left(1; 1; 2\right)$ C. $G\left(1; 1; 3\right)$ D. $G\left(3; 1; 2\right)$.
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: $x_G = \frac{1+4-2}{3} = 1$, $y_G = \frac{2-1+2}{3} = 1$, $z_G = \frac{3+0+3}{3} = 2$. Vậy $G\left(1; 1; 2\right)$.

2. Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left(0; 6; -4\right), B\left(3; 0; 7\right), C\left(-3; 0; -6\right)$. Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của $\Delta ABC$.
A. $G\left(0; 2; -1\right)$ B. $G\left(0; 3; -1\right)$ C. $G\left(0; 6; -3\right)$ D. $G\left(0; 2; 1\right)$.
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: $x_G = \frac{0+3-3}{3} = 0$, $y_G = \frac{6+0+0}{3} = 2$, $z_G = \frac{-4+7-6}{3} = -1$. Vậy $G\left(0; 2; -1\right)$.

3. Cho tam giác $ABC$ trong không gian $Oxyz$ với $A\left(10; -1; 5\right), B\left(-1; 4; 2\right), C\left(3; -3; 2\right)$. Tọa độ trọng tâm $G$ là:
A. $G\left(4; 0; 3\right)$ B. $G\left(12; 0; 9\right)$ C. $G\left(4; 3; 3\right)$ D. $G\left(4; 1; 3\right)$.
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: $x_G = \frac{10-1+3}{3} = 4$, $y_G = \frac{-1+4-3}{3} = 0$, $z_G = \frac{5+2+2}{3} = 3$. Vậy $G\left(4; 0; 3\right)$.

4. Trong không gian $Oxyz$, cho $\Delta ABC$ có $A\left(1; 2; -1\right)$ và trọng tâm $G\left(3; 1; 0\right)$. Biết $B\left(2; -1; 4\right)$. Tìm tọa độ đỉnh $C$.
A. $C\left(6; 2; -3\right)$ B. $C\left(3; 0; 3\right)$ C. $C\left(8; 0; -3\right)$ D. $C\left(6; 0; 3\right)$.
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Ta có $x_C = 3x_G – x_A – x_B$, $y_C = 3y_G – y_A – y_B$, $z_C = 3z_G – z_A – z_B$.
$x_C = 3(3) – 1 – 2 = 6$.
$y_C = 3(1) – 2 – (-1) = 2$.
$z_C = 3(0) – (-1) – 4 = -3$.
Vậy $C\left(6; 2; -3\right)$.

5. Cho tam giác $ABC$ có các đỉnh $A\left(7; 1; 0\right), B\left(-4; 5; 6\right), C\left(3; 3; -6\right)$. Trọng tâm $G$ của tam giác này có tọa độ là:
A. $G\left(2; 3; 0\right)$ B. $G\left(6; 9; 0\right)$ C. $G\left(2; 9; 0\right)$ D. $G\left(3; 3; 0\right)$.
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: $x_G = \frac{7-4+3}{3} = 2$, $y_G = \frac{1+5+3}{3} = 3$, $z_G = \frac{0+6-6}{3} = 0$. Vậy $G\left(2; 3; 0\right)$.