Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{a}=\left(6;-3;-2\right), \vec{b}=\left(-4;-4;-5\right), \vec{c}=\left(1;-2;-2\right)$.

Bài toán gốc

Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{a}=\left(6;-3;-2\right), \vec{b}=\left(-4;-4;-5\right), \vec{c}=\left(1;-2;-2\right)$. Biết $\vec{x}=(x_1;y_1;z_1)$ thỏa mãn $\vec x.\vec a=-21$, $\vec x.\vec b=3$, $\vec x.\vec c=-6$. Tính $x_1+y_1z_1$.
A. $-14$ B. $-18$ C. $-19$ D. $-17$
💡 Lời giải: $\vec{x}=\left(-2;5;-3\right)$

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tìm tọa độ của một vectơ $\vec{x}=(x_1; y_1; z_1)$ khi biết ba điều kiện về tích vô hướng của $\vec{x}$ với ba vectơ khác $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$. Các điều kiện này dẫn đến một hệ phương trình tuyến tính 3 ẩn 3 phương trình:
$$\begin{cases} x_1a_1 + y_1a_2 + z_1a_3 = k_1 \\ x_1b_1 + y_1b_2 + z_1b_3 = k_2 \\ x_1c_1 + y_1c_2 + z_1c_3 = k_3 \end{cases}$$
Phương pháp giải là sử dụng phương pháp thế, cộng đại số, hoặc máy tính Casio/Vinacal để giải hệ phương trình tìm ra $(x_1, y_1, z_1)$, sau đó thực hiện phép tính theo yêu cầu cuối cùng.

Bài toán tương tự

1. Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{a}=(1; 2; 1), \vec{b}=(2; -1; 3), \vec{c}=(3; 1; -1)$. Biết $\vec{x}=(x_1;y_1;z_1)$ thỏa mãn $\vec{x}.\vec{a}=3$, $\vec{x}.\vec{b}=14$, $\vec{x}.\vec{c}=2$. Tính giá trị của biểu thức $x_1 – y_1 + z_1$.
Đáp án: 6
Lời giải ngắn gọn: Hệ phương trình là $\begin{cases} x_1 + 2y_1 + z_1 = 3 \\ 2x_1 – y_1 + 3z_1 = 14 \\ 3x_1 + y_1 – z_1 = 2 \end{cases}$. Giải hệ ta được $\vec{x}=(2; -1; 3)$. Khi đó $x_1 – y_1 + z_1 = 2 – (-1) + 3 = 6$.

2. Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{a}=(3; 1; -1), \vec{b}=(1; 2; 1), \vec{c}=(-1; 1; 2)$. Biết $\vec{x}=(x_1;y_1;z_1)$ thỏa mãn $\vec{x}.\vec{a}=6$, $\vec{x}.\vec{b}=4$, $\vec{x}.\vec{c}=-1$. Tính giá trị của biểu thức $2x_1 + y_1 + z_1$.
Đáp án: 3
Lời giải ngắn gọn: Hệ phương trình là $\begin{cases} 3x_1 + y_1 – z_1 = 6 \\ x_1 + 2y_1 + z_1 = 4 \\ -x_1 + y_1 + 2z_1 = -1 \end{cases}$. Giải hệ ta được $\vec{x}=(1; 2; -1)$. Khi đó $2x_1 + y_1 + z_1 = 2(1) + 2 + (-1) = 3$.

3. Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{a}=(1; 0; 1), \vec{b}=(0; 1; 1), \vec{c}=(1; 1; 0)$. Biết $\vec{x}=(x_1;y_1;z_1)$ thỏa mãn $\vec{x}.\vec{a}=3$, $\vec{x}.\vec{b}=1$, $\vec{x}.\vec{c}=6$. Tính giá trị của biểu thức $x_1 y_1 + z_1$.
Đáp án: 7
Lời giải ngắn gọn: Hệ phương trình là $\begin{cases} x_1 + z_1 = 3 \\ y_1 + z_1 = 1 \\ x_1 + y_1 = 6 \end{cases}$. Cộng ba phương trình lại ta có $2(x_1+y_1+z_1) = 10 \implies x_1+y_1+z_1=5$. Lần lượt trừ đi các phương trình ban đầu ta tìm được $\vec{x}=(4; 2; -1)$. Khi đó $x_1 y_1 + z_1 = 4(2) + (-1) = 7$.

4. Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{a}=(2; 1; 0), \vec{b}=(1; -1; 1), \vec{c}=(0; 2; -1)$. Biết $\vec{x}=(x_1;y_1;z_1)$ thỏa mãn $\vec{x}.\vec{a}=-4$, $\vec{x}.\vec{b}=0$, $\vec{x}.\vec{c}=-1$. Tính $x_1^2 + y_1 + z_1$.
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
Đáp án đúng: B. 16
Lời giải ngắn gọn: Hệ phương trình là $\begin{cases} 2x_1 + y_1 = -4 \\ x_1 – y_1 + z_1 = 0 \\ 2y_1 – z_1 = -1 \end{cases}$. Giải hệ ta được $\vec{x}=(-3; 2; 5)$. Khi đó $x_1^2 + y_1 + z_1 = (-3)^2 + 2 + 5 = 9 + 7 = 16$.

5. Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{a}=(1; 1; 2), \vec{b}=(2; -1; 1), \vec{c}=(1; 0; 3)$. Biết $\vec{x}=(x_1;y_1;z_1)$ thỏa mãn $\vec{x}.\vec{a}=1$, $\vec{x}.\vec{b}=2$, $\vec{x}.\vec{c}=-1$. Tính $x_1 – 2y_1 + 3z_1$.
A. -5 B. -4 C. -3 D. -2
Đáp án đúng: C. -3
Lời giải ngắn gọn: Hệ phương trình là $\begin{cases} x_1 + y_1 + 2z_1 = 1 \\ 2x_1 – y_1 + z_1 = 2 \\ x_1 + 3z_1 = -1 \end{cases}$. Giải hệ ta được $\vec{x}=(2; 1; -1)$. Khi đó $x_1 – 2y_1 + 3z_1 = 2 – 2(1) + 3(-1) = 2 – 2 – 3 = -3$.