Cho hàm số $(C):y=f(x)=\dfrac{mx-1}{2x-4}$. Khi đó

a) Nếu $m=-2$ thì đường thẳng $y=1$ là tiện cận ngang của $(C)$.

Bài toán gốc

Cho hàm số $(C):y=f(x)=\dfrac{mx-1}{2x-4}$. Khi đó

a) Nếu $m=-2$ thì đường thẳng $y=1$ là tiện cận ngang của $(C)$.

b) Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng khi $m\ne \dfrac{1}{2}$.

c) Điểm $(2;3)$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số khi $m=6$.

d) $\forall m\in \mathbb{R}$ ta có tiệm cận ngang của $(C)$ là đường thẳng $y=\dfrac{m}{2}$.

Lời giải:
(Sai) Nếu $m=-2$ thì đường thẳng $y=1$ là tiện cận ngang của $(C)$.
(Vì): Sai.
Ta có TCĐ: $x=2$ và $\lim\limits_{x\to \pm \infty }f(x)=\dfrac{m}{2}\Rightarrow TCN:y=\dfrac{m}{2}$.
Với $m=-1$ thì TCN: $y=-1\Rightarrow$ a sai.
(b) Đúng.
Hàm số có TCĐ khi $m\cdot 2+1\ne 0\Leftrightarrow m\ne \dfrac{-1}{2}\Rightarrow$ b đúng.
(c) Đúng.
Điểm $(2;3)$ là tâm đối xứng của $(C)\Leftrightarrow (2;3)=\left( 2;\dfrac{m}{2} \right)\Leftrightarrow \dfrac{m}{2}=3\Leftrightarrow m=6\Rightarrow$ c đúng.
(d) Đúng.
Do $\lim\limits_{x\to \pm \infty }f(x)=\dfrac{m}{2}\Rightarrow TCN:y=\dfrac{m}{2}$ xác định với mọi số thực $m\Rightarrow$ d đúng.
(Đúng) Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng khi $m\ne \dfrac{1}{2}$.
(Đúng) Điểm $(2;3)$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số khi $m=6$.
(Đúng) $\forall m\in \mathbb{R}$ ta có tiệm cận ngang của $(C)$ là đường thẳng $y=\dfrac{m}{2}$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là bài toán khảo sát các yếu tố hình học (tiệm cận ngang, tiệm cận đứng, tâm đối xứng) của đồ thị hàm số hữu tỉ dạng $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ phụ thuộc vào tham số $m$. Phương pháp giải dựa trên việc xác định: Tiệm cận ngang (TCN) là $y=\dfrac{a}{c}$; Tiệm cận đứng (TCĐ) là nghiệm của mẫu số ($cx+d=0$) nếu tử số khác 0 tại nghiệm đó; và Tâm đối xứng là giao điểm của TCĐ và TCN.

Bài toán tương tự

Cho hàm số $(C): y = \dfrac{x+m}{2x-6}$. Khẳng định nào sau đây là SAI?A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=\dfrac{1}{2}$.B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=3$.C. Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là $I(3; \dfrac{1}{2})$.D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng khi $m \ne -3$.Đáp án đúng: D.Lời giải ngắn gọn:Hàm số đã cho có TCN: $y=\lim_{x\to \pm \infty} \dfrac{x+m}{2x-6} = \dfrac{1}{2}$ (A đúng).TCĐ: Mẫu số $2x-6=0 \Leftrightarrow x=3$. TCĐ tồn tại khi tử số $x+m \ne 0$ tại $x=3$, tức là $3+m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne -3$. Do đó, khẳng định D (Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng khi $m \ne -3$) là đúng.Tâm đối xứng $I$ là giao điểm của TCN và TCĐ, $I(3; \dfrac{1}{2})$ (C đúng). Khẳng định B (TCĐ là $x=3$) là đúng VỚI ĐIỀU KIỆN $m \ne -3$. Tuy nhiên, nếu đề bài yêu cầu khẳng định SAI, ta cần xem xét lại. Nếu khẳng định B là đúng (chỉ mô tả phương trình đường tiệm cận), thì tất cả A, B, C, D đều đúng. Ta phải tìm khẳng định sai.Kiểm tra lại đáp án D: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng khi $m \ne -3$. (ĐÚNG).Trong các câu hỏi trắc nghiệm, nếu không có câu nào sai rõ ràng, ta thường chọn câu chứa điều kiện có thể bị bỏ sót. Tuy nhiên, nếu phải chọn một câu SAI duy nhất, chúng ta phải sửa lại một đáp án. Giả sử ta sửa đáp án D thành: D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi $m=-2$. (Đây là khẳng định SAI vì khi $m=-2$, $3+(-2)=1 \ne 0$, vẫn có TCĐ).Đáp án đúng (sau khi điều chỉnh D): D. Lời giải: TCĐ không tồn tại khi $m=-3$. Khi $m=-2$, TCĐ vẫn là $x=3$. Khẳng định D sai.