Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}$, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình dưới đây.

Bài toán gốc

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}$, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình dưới đây.

a) Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là $y=3$ và $y=4$.

b) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số có phương trình: $x=-2$.

c) Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang có phương trình: $y=3$ và $y=4$.

d) Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.

Lời giải: 1Here is the original image:
(Đúng) Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là $y=3$ và $y=4$.
(Vì): Ta có $\lim\limits_{x\to +\infty }y=3$ và $\lim\limits_{x\to -\infty }y=4$ nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang $y=3,y=4$.
(Đúng) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số có phương trình: $x=-2$.
(Đúng) Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang có phương trình: $y=3$ và $y=4$.
(Vì): Ta có $\lim\limits_{x\to +\infty }y=3$ và $\lim\limits_{x\to -\infty }y=4$ nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang $y=3,y=4$.
(Đúng) Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán khảo sát các đường tiệm cận của đồ thị hàm số dựa trên bảng biến thiên hoặc thông tin về giới hạn tại vô cực và tại các điểm gián đoạn. Phương pháp giải là áp dụng định nghĩa tiệm cận: 1. Tiệm cận ngang (TCN): Nếu $\lim_{x\to \pm\infty }y=L$ (L là hằng số) thì $y=L$ là TCN. 2. Tiệm cận đứng (TCĐ): Nếu $\lim_{x\to a^{\pm} }y=\pm\infty$ thì $x=a$ là TCĐ. Bài toán gốc có 2 TCN ($y=3, y=4$) và 1 TCĐ ($x=-2$), tổng cộng 3 đường tiệm cận.

Bài toán tương tự

Cho hàm số $y=g\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có các giới hạn như sau: $\lim_{x \to +\infty} g(x) = -1$, $\lim_{x \to -\infty} g(x) = 5$, $\lim_{x \to 1^-} g(x) = -\infty$ và $\lim_{x \to 1^+} g(x) = +\infty$. Hỏi đồ thị hàm số $y=g(x)$ có bao nhiêu đường tiệm cận?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4

Đáp án đúng: C
Lời giải ngắn gọn: Từ $\lim_{x \to +\infty} g(x) = -1$ và $\lim_{x \to -\infty} g(x) = 5$, ta suy ra đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là $y=-1$ và $y=5$. Từ $\lim_{x \to 1^\pm} g(x) = \pm\infty$, ta suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là $x=1$. Tổng số đường tiệm cận là $2+1=3$.