Cho hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}-1}{x+3}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau

Bài toán gốc

Cho hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}-1}{x+3}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau

a) Đồ thị $\left( C \right)$ có đường tiệm cận đứng $x=-3$.

b) Đồ thị $\left( C \right)$ có đường tiệm cận ngang $y=1$.

c) Đồ thị $\left( C \right)$ có đường tiệm cận xiên $y=x-3$.

d) Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường tiệm cận xiên của đồ thị $\left( C \right)$ bằng $3$.

Lời giải:
Ta có: $y=\dfrac{{{x}^{2}}-1}{x+3}=x-3+\dfrac{8}{x+3}$.
Xét tiệm cận đứng:
$\lim\limits_{x\to -{{3}^{-}}}y=\lim\limits_{x\to -{{3}^{-}}}\dfrac{{{x}^{2}}-1}{x+3}=-\infty$; $\lim\limits_{x\to -{{3}^{+}}}y=\lim\limits_{x\to -{{3}^{+}}}\dfrac{{{x}^{2}}-1}{x+3}=+\infty$.
Do đó, đồ thị $\left( C \right)$ có đường tiệm cận đứng $x=-3$.
Xét tiệm cận ngang:
$\lim\limits_{x\to \pm \infty }y=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\dfrac{{{x}^{2}}-1}{x+3}=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\left( x-3+\dfrac{8}{x+3} \right)=\pm \infty$.
Do đó, đồ thị $\left( C \right)$ không có đường tiệm cận ngang.
Xét tiệm cận xiên:
Vì $\lim\limits_{x\to \pm \infty }\left[ y-\left( x-3 \right) \right]=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\dfrac{8}{x+3}=0$.
Do đó, đồ thị $\left( C \right)$ có đường tiệm cận xiên $y=x-3$.
Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến tiệm cận xiên:
Đường tiệm cận xiên là $y=x-3$, hay $x-y-3=0$.
Khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0;0)$ đến đường tiệm cận xiên là $d=\dfrac{\left| 1\cdot 0-1\cdot 0-3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=\dfrac{\left| -3 \right|}{\sqrt{2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}$.
(Đúng) Đồ thị $\left( C \right)$ có đường tiệm cận đứng $x=-3$.
(Vì): Ta có: $\lim\limits_{x\to -{{3}^{-}}}y=\lim\limits_{x\to -{{3}^{-}}}\dfrac{{{x}^{2}}-1}{x+3}=-\infty$; $\lim\limits_{x\to -{{3}^{+}}}y=\lim\limits_{x\to -{{3}^{+}}}\dfrac{{{x}^{2}}-1}{x+3}=+\infty$. Do đó, đồ thị $\left( C \right)$ có đường tiệm cận đứng $x=-3$.
(Sai) Đồ thị $\left( C \right)$ có đường tiệm cận ngang $y=1$.
(Vì): Ta có: $\lim\limits_{x\to \pm \infty }y=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\dfrac{{{x}^{2}}-1}{x+3}=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\left( x-3+\dfrac{8}{x+3} \right)=\pm \infty$. Do đó, đồ thị $\left( C \right)$ không có đường tiệm cận ngang.
(Đúng) Đồ thị $\left( C \right)$ có đường tiệm cận xiên $y=x-3$.
(Vì): Ta có: $y=\dfrac{{{x}^{2}}-1}{x+3}=x-3+\dfrac{8}{x+3}$. Vì $\lim\limits_{x\to \pm \infty }\left[ y-\left( x-3 \right) \right]=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\dfrac{8}{x+3}=0$. Do đó, đồ thị $\left( C \right)$ có đường tiệm cận xiên $y=x-3$.
(Sai) Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường tiệm cận xiên của đồ thị $\left( C \right)$ bằng $3$.
(Vì): Đường tiệm cận xiên là $y=x-3$, hay $x-y-3=0$. Khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0;0)$ đến đường tiệm cận xiên là $d=\dfrac{\left| 1\cdot 0-1\cdot 0-3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=\dfrac{\left| -3 \right|}{\sqrt{2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}$. Vì $\dfrac{3}{\sqrt{2}} \ne 3$.

Phân tích và Phương pháp giải

Bài toán thuộc dạng xác định các loại tiệm cận (đứng, ngang, xiên) của hàm phân thức hữu tỉ, đặc biệt là khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu một đơn vị, và áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm (gốc tọa độ O) đến một đường thẳng (tiệm cận xiên). Phương pháp giải bao gồm: 1. Chia đa thức để xác định tiệm cận xiên. 2. Xác định các tiệm cận đứng/ngang bằng giới hạn. 3. Sử dụng công thức khoảng cách $d=\dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ cho tiệm cận xiên $Ax+By+C=0$.

Bài toán tương tự

Cho hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}+2x+3}{x-1}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Gọi $d$ là khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $\left( C \right)$. Chọn mệnh đề đúng. A. $d = 3$. B. $d = \dfrac{3\sqrt{2}}{4}$. C. $d = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$. D. $d = 3\sqrt{2}$.\n\nĐáp án đúng: C.\nLời giải ngắn gọn:\nTa thực hiện phép chia đa thức: $y=\dfrac{{{x}^{2}}+2x+3}{x-1} = x+3 + \dfrac{6}{x-1}$.\nĐường tiệm cận xiên là $y=x+3$, hay $x-y+3=0$.\nKhoảng cách $d$ từ gốc tọa độ $O(0;0)$ đến đường tiệm cận xiên là:\n$d=\dfrac{\left| 1\cdot 0 – 1\cdot 0 + 3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.