Cho hàm số $y=\dfrac{2{{x}^{2}}+3x+m}{x-m}$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Bài toán gốc

Cho hàm số $y=\dfrac{2{{x}^{2}}+3x+m}{x-m}$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Khi $m=0$ đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng.

b) Khi $m=0$ đồ thị hàm số không có tiệm cận.

c) Khi $m=1$ đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=2x+3$.

d) Chỉ có hai giá trị của $m$ mà với giá trị đó của $m$ đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Lời giải:
(Sai) Khi $m=0$ đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng.
(Vì): Sai.
(b) Đúng.
Vì khi $m=0$ hàm số đã cho trở thành $y=\dfrac{2{{x}^{2}}+3x}{x}\Leftrightarrow y=2x+3$.
Hàm số đã cho trở thành hàm số bậc nhất nên đồ thị không có tiệm cận. Vậy a sai, b đúng.
(c) Sai.
Vì khi $m=1$ hàm số đã cho trở thành $y=\dfrac{2{{x}^{2}}+3x+1}{x-1}\Leftrightarrow y=2x+5+\dfrac{6}{x-1}$.
(d) Đúng.
Vì hàm số có TXĐ $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}$.
Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì $x=m$ phải là nghiệm của tử. Suy ra $2{{m}^{2}}-2m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m=0 \\ m=1 \end{array} \right.$.
Vậy chỉ có hai giá trị của $m$ với giá trị đó của $m$ đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng là $m=0$; $m=1$.
(Đúng) Khi $m=0$ đồ thị hàm số không có tiệm cận.
(Sai) Khi $m=1$ đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=2x+3$.
(Đúng) Chỉ có hai giá trị của $m$ mà với giá trị đó của $m$ đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán là xét tính đúng sai của các mệnh đề liên quan đến tiệm cận (tiệm cận đứng và tiệm cận xiên) của hàm số phân thức hữu tỉ có dạng bậc hai trên bậc nhất chứa tham số. Phương pháp giải chủ yếu là: 1) Tiệm cận đứng (TCD): Xét nghiệm của mẫu số ($x_0$). TCD tồn tại khi $x_0$ không phải là nghiệm của tử số. Nếu $x_0$ là nghiệm của tử số, hàm số có thể được rút gọn (lúc này đồ thị không có TCD). 2) Tiệm cận xiên (TCX): Luôn tồn tại khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu 1 đơn vị, trừ trường hợp hàm số rút gọn về đa thức bậc nhất. Phương trình TCX được tìm bằng cách chia đa thức.

Bài toán tương tự

Cho hàm số $y=\dfrac{x^2+2x+m}{x-1}$. Xét các mệnh đề sau: I. Nếu $m=0$, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên $y=x+3$. II. Có đúng một giá trị của $m$ để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. III. Nếu $m=-4$, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên $y=x+3$. Trong các mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Đáp án đúng: D. Lời giải ngắn gọn: Hàm số có mẫu số bằng 0 tại $x=1$. 1. Tiệm cận đứng không tồn tại nếu $1^2+2(1)+m=0 \Leftrightarrow m=-3$. Mệnh đề II đúng. 2. Tiệm cận xiên (TCX): Ta thực hiện phép chia đa thức: $\dfrac{x^2+2x+m}{x-1} = x+3 + \dfrac{m+3}{x-1}$. Phương trình TCX là $y=x+3$ (khi $m \ne -3$). Mệnh đề I ($m=0$) đúng vì $y=x+3$. 3. Mệnh đề III ($m=-4$): $m \ne -3$, nên TCD là $x=1$ và TCX là $y=x+3$. Mệnh đề III đúng. Cả ba mệnh đề đều đúng.