Một công viên sinh thái muốn bố trí một mảnh vườn hoa nhỏ. Cụ thể bối cảnh của công viên đã được đo đạt như sau: Đường đi lát gạch chạy thẳng, lấy làm ranh dưới của mảnh vườn

Bài toán: Một công viên sinh thái muốn bố trí một mảnh vườn hoa nhỏ. Cụ thể bối cảnh của công viên đã được đo đạt như sau: Đường đi lát gạch chạy thẳng, lấy làm ranh dưới của mảnh vườn. Hàng rào uốn cong là đồ thị parabol $y=\dfrac{1}{2}x^{2}$, biết đồ thị parabol này tiếp xúc với đường đi tại tọa độ đỉnh của nó. Ao cá là đường tròn có bán kính bằng 1 m tiếp xúc với đường đi đồng thời có chung một điểm duy nhất với hàng rào. Khu vực mảnh vườn hoa nằm giữa hàng rào, lối đi và ao cá (màu xanh trong hình minh họa). Để hỗ trợ cho việc chuẩn bị vật tư trang trí, hãy tính diện tích mảnh vườn hoa đó bằng bao nhiêu mét vuông? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Lòi giải Trả lời: 0,9 Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Gọi $A\left(a;\dfrac{a^{2}}{2}\right)\in \left(P\right),I\left(b;1\right)$ là tâm của $\left(C\right),(b>a>0)$. $B\left(b;0\right)=\left(C\right)\cap Ox,\left(d\right)$ là tiếp tuyến của $\left(P\right)$ tại $A$. $\overrightarrow {AI} =\left(b-a;\dfrac{2-a^{2}}{2}\right)$, hệ số góc của $AI$ là: $k_{1}=\dfrac{2-a^{2}}{2\left(b-a\right)}$, hệ số góc của $\left(d\right)$ là: $k_{2}=a$. Ta có: $\left\{\begin{array}{*{20}{l}}AI=1\\k_{1}k_{2}=-1\end{array}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{*{20}{l}}(b-a)^{2}+\left(\dfrac{2-a^{2}}{2}\right)^{2}=1\\a\cdot \dfrac{2-a^{2}}{2\left(b-a\right)}=-1\end{array}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{*{20}{l}}a=\sqrt {3} \\b=\dfrac{3\sqrt {3} }{2}\end{array}\Rightarrow k_{1}=-\dfrac{\sqrt {3} }{3}\right. \right. \right. $. Do đó $AI$ có phương trình là: $y=-\dfrac{\sqrt {3} }{3}\left(x-\dfrac{3\sqrt {3} }{2}\right)+1=-\dfrac{\sqrt {3} }{3}x+\dfrac{5}{2}$. Mà $AB=\sqrt {3} \Rightarrow AIB=\dfrac{2\pi }{3}$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left(P\right),\left(C\right),Ox$ là: $=\left. \dfrac{x^{3}}{6}\right|_{0}^{\sqrt {3} }+\left. \left(-\dfrac{\sqrt {3} }{6}x^{2}+\dfrac{5}{2}x\right)\right|_{\sqrt {3} }^{\dfrac{3\sqrt {3} }{2}}-\dfrac{\pi }{3}=\dfrac{27\sqrt {3} -8\pi }{24}\approx 0,9\mathrm{\,\;}\mathrm{\,m}^{2}.$