Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, một con chim bồ câu xuất phát từ $O\left(0;0;0\right)$ di chuyển với vectơ vận tốc $\overrightarrow {v_{1}} =\left(1;2;2\right)$. Cùng lúc đó, một con chim én cũng bắt đầu di chuyển từ $A\left(0;0;5\right)$ với vectơ vận tốc $\overrightarrow {v_{2}} =\left(0;3;4\right)$

Bài toán: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, một con chim bồ câu xuất phát từ $O\left(0;0;0\right)$ di chuyển với vectơ vận tốc $\overrightarrow {v_{1}} =\left(1;2;2\right)$. Cùng lúc đó, một con chim én cũng bắt đầu di chuyển từ $A\left(0;0;5\right)$ với vectơ vận tốc $\overrightarrow {v_{2}} =\left(0;3;4\right)$. Tồn tại một vùng không gian nguy hiểm, nơi mà ở đó thường xuyên xuất hiện những người săn bắt chim có dạng mặt cầu $(x-2)^{2}+(y-4)^{2}+(z-4)^{2}=16$. Biết
rằng mỗi đơn vị trên các trục tọa độ trong không gian tương đương 1 m và đơn vị đo thời gian tính bằng giây.
a) Tốc độ di chuyển của chim bồ câu là $3\mathrm{\,\;m}/\mathrm{\,s}$
b) Chim én có di chuyển vào vùng nguy hiểm trong quá trình bay
c) Thời gian mà chim bồ câu di chuyển trong vùng nguy hiểm nhỏ hơn 5 giây
d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng quỹ đạo của hai con chim bằng $\dfrac{2}{3}\mathrm{\,\;m}$.
Lòi giải:
a) Đúng: Vận tốc của chim bồ câu: $v_{1}=\sqrt {1^{2}+2^{2}+2^{2}} =3\mathrm{\,\;m}/\mathrm{\,s}$.
b) Đúng: Phương trình quỹ đạo bay của chim én là $d_{1}:\left\{\begin{array}{*{20}{l}}x=0\\y=3t\\z=5+4t\end{array}\right. $ nên $M\left(0;3t;5+4t\right)\in d_{1}$
Thay tọa độ điểm $M\left(0;3t;5+4t\right)$ vào phương trình mặt cầu $\left(S\right)$ ta được:
$4+(3t-2)^{2}+(4t+1)^{2}=16\Leftrightarrow $Vậy chim én có bay vào vùng nguy hiểm
c) Đúng: Phương trình quỹ đạo bay của chim bồ câu là: $d_{2}:\left\{\begin{array}{*{20}{l}}x=t\\y=2t\mathrm{\,\;n\^e n\;}N\left(t;2t;2t\right)\in d_{2}\\z=2t\end{array}\right. $
Thay tọa độ điểm $N\left(t;2t;2t\right)$ vào phương trình mặt cầu $\left(S\right)$ ta được:
$(t-2)^{2}+(2t-4)^{2}+(2t-4)^{2}=16\Leftrightarrow \left[\begin{array}{*{20}{l}}t=\dfrac{2}{3}\\t=\dfrac{10}{3}\end{array}\right. $
Khi đó $A\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3}\right)$ và $B\left(\dfrac{10}{3};\dfrac{20}{3};\dfrac{20}{3}\right)$ nên $AB=\sqrt {\left(\dfrac{10}{3}-\dfrac{2}{3}\right)^{2}+\left(\dfrac{20}{3}-\dfrac{4}{3}\right)^{2}+\left(\dfrac{20}{3}-\dfrac{4}{3}\right)^{2}} =8\mathrm{\,\;m}$
Thời gian chim bồ câu bay trong vùng nguy hiểm là: $t_{1}=\dfrac{8}{3}\approx 2,66\mathrm{\,\;m}/\mathrm{\,s}$ nhỏ hơn $5\mathrm{\,\;m}/\mathrm{\,s}$.
d) Sai: Đường thẳng $d_{1}$ đi qua $M_{1}\left(0;0;5\right)$ và $d_{2}$ đi qua $M_{2}\left(0;0;0\right)$ nên $\overrightarrow {M_{1}M_{2}} =\left(0;0;-5\right)$
Khoảng cách giữa hai đường thẳng quỹ đạo bay của hai con chim:
$d\left(d_{1};d_{2}\right)=\dfrac{\left|\left[\overrightarrow {u_{1}} ;\overrightarrow {u_{2}} \right]\cdot \overrightarrow {M_{1}M_{2}} \right|}{\left|\left[\overrightarrow {u_{1}} ;\overrightarrow {u_{2}} \right]\right|}\approx 2,78\mathrm{\,\;m}.$