Vệ tinh hoạt động dựa trên nguyên lý của vật lý Newton. Một vật thể bị kéo bởi một lực hấp dẫn từ một vật thể khác sẽ chuyển động theo một quỹ đạo elip xung quanh vật thể đó

Bài toán : Vệ tinh hoạt động dựa trên nguyên lý của vật lý Newton. Một vật thể bị kéo bởi một lực hấp dẫn từ một vật thể khác sẽ chuyển động theo một quỹ đạo elip xung quanh vật thể đó. Để đưa vệ tinh lên quỹ đạo, người ta sử dụng các loại tên lửa đẩy khác nhau để cung cấp cho vệ tinh động lượng cần thiết để thoát khỏi trọng lực của Trái Đất và duy trì quỹ đạo ổn định. Để thuận tiện ta quy ước một quỹ đạo gần tròn thành một đường tròn. Trong hệ tọa độ $Oxyz$, gốc tọa độ là tâm trái đất, một vệ tinh nhân tạo có quỹ đạo được coi như một đường tròn có bán kính 13440 km có điểm xuất phát là điềm $B\left(4032;0;-5376\right)$ và đây cũng là điểm gần Trái Đất nhất của vệ tinh. Quỹ đạo của vệ tinh này nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục tung và có tâm nằm trên đường thẳng $OB$. Coi trái đất là hình cầu hoàn hảo có bán kính bằng 6400 km .
a) Phương trình mặt phẳng chứa quỹ đạo của vệ tinh là $x+z=0$.
b) Khi xuất phát tại điểm $B$ vệ tinh đang ở độ cao 320 km so với mặt đất.
c) Quỹ đạo của tên lửa là đường tròn có tâm $I\left(-4032;0;5736\right)$.
d) Khi Trái Đất quay, điểm cực Nam và cực Bắc của Trái Đất không thay đổi vị trí. Biết rằng điểm cực Nam của Trái Đất có tọa độ là $M\left(0;3840;5120\right)$. Khoảng cách gần nhất giữa vệ tinh và điểm cực Nam bằng 10112km ( Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Lòi giải
a) Sai: Quỹ đạo của vệ tinh này nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục tung nên một vectơ chỉ phương của mặt phẳng chứa quỹ đạo của vệ tinh là $\left(0;1;0\right)$.
Khi đó phương trình mặt phẳng chứa quỹ đạo của vệ tinh có dạng $y+a=0$
Quỹ đạo đi qua điểm $B\left(4032;0;-5376\right)$ nên $0+a=0\Rightarrow a=0$
Vậy phương trình mặt phẳng chứa quỹ đạo của vệ tinh là $y=0$.
b) Đúng: Khoảng cách ngắn nhất từ Trái Đất đến vệ tinh là:
$OB-R=\sqrt {4032^{2}+0^{2}+(-5376)^{2}} -6400=320\mathrm{\,\;km}$
Vậy khi xuất phát tại điểm $B$ thì vệ tinh đang ở độ cao 320 km so với mặt đất
c) Sai: Quỹ đạo của vệ tinh có tâm nằm trên đường thẳng $OB$ nên tâm $I$ nằm trên đường thẳng $OB$
Mặt khác: $IB=R_{qd}=13440=2.OB$ nên $O$ là trung điểm của $IB$
Khi đó $\left\{\begin{array}{*{20}{l}}x_{I}=2x_{O}-x_{B}\\y_{I}=2y_{O}-y_{B}\\z_{I}=2z_{O}-z_{B}\end{array}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{*{20}{l}}x_{I}=-4032\\y_{I}=0\\z_{I}=5376\end{array}\right. \right. $ nên tọa độ điểm $I\left(-4032;0;5376\right)$
d) Sai: Gọi $H$ là hình chiếu của $K$ lên mặt phẳng quỹ đạo $y=0\Rightarrow H\left(0;0;5120\right)$
Khi đó: $KH=d\left(K,\left(y=0\right)\right)=3840;IH=\sqrt {4032^{2}+(5376-5120)^{2}} =64\sqrt {3985} $
Từ đó suy ra: $NH=IN-IH=13440-64\sqrt {3985} $
Nối $I$ và $H$ cắt vệ tinh tại $N$ thì khi đó:
$KN_{\mathrm{\,min}}=\sqrt {KH^{2}+NH^{2}} =\sqrt {3840^{2}+(13440-64\sqrt {3985} )^{2}} \approx 10154\left(\mathrm{\,\;km}\right)$