[4] Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(E\left( {1 + 3a; – 2;2 + 3a} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;1;a + 1} \right)\). Biết khi \(a\) thay đổi luôn tồn tại một mặt cầu \(\left( S \right)\) cố định có tâm \(I\left( {m;n;p} \right)\) bán kính \(R\) đi qua điểm \(M\left( {1;1;1} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta \). Một khối nón \(\left( N \right)\) có đỉnh \(I\) và đường tròn đáy của khối nón nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\). Thể tích lớn nhất của khối nón \(\left( N \right)\) là \(\max {V_{\left( N \right)}} = \frac{{q\pi }}{3}\). Khi đó tổng \(m + n + p + q\) bằng

[4] Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(E\left( {1 + 3a; – 2;2 + 3a} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;1;a + 1} \right)\). Biết khi \(a\) thay đổi luôn tồn tại một mặt cầu \(\left( S \right)\) cố định có tâm \(I\left( {m;n;p} \right)\) bán kính \(R\) đi qua điểm \(M\left( {1;1;1} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta \). Một khối nón \(\left( N \right)\) có đỉnh \(I\) và đường tròn đáy của khối nón nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\). Thể tích lớn nhất của khối nón \(\left( N \right)\) là \(\max {V_{\left( N \right)}} = \frac{{q\pi }}{3}\). Khi đó tổng \(m + n + p + q\) bằng

A. \(225\).

B. \(250\).

C. \(256\).

D. \(252\).

Lời giải:

Chọn B

Từ giả thiết ta có phương trình đường thẳng \(\Delta \): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3a + at\\y = – 2 + t\\z = 2 + 3a + \left( {a + 1} \right)t\end{array} \right.\).

Ta có đường thẳng \(\Delta \) luôn đi qua điểm cố định \(A\left( {1; – 5; – 1} \right),\forall a \in \mathbb{R}\). \(\left( {t = – 3} \right)\).

Nhận thấy đường thẳng \(\Delta \) luôn nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right):x + y – z + 3 = 0\).

Nếu \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn thì \(\Delta \) chính là tiếp tuyến của đường tròn, mà từ một điểm chỉ có thể kẻ tối đa hai tiếp tuyến với đường tròn, nên khi đó chỉ có thể tồn tại tối đa hai tiếp tuyến \(\Delta \) với \(\left( S \right)\). Do từ \(A\) kẻ được vô số tiếp tuyến \(\Delta \) với \(\left( S \right)\) nên \(\left( P \right)\) phải tiếp xúc với \(\left( S \right)\) tại \(A\).

Ta có \(AI \bot \left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {AI} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1; – 1} \right)\), do đó \(\frac{{m – 1}}{1} = \frac{{n + 5}}{1} = \frac{{p + 1}}{{ – 1}}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + p = 0\\n + p = – 6\end{array} \right.\left( 1 \right)\).

Ta lại có \(MI = IA \Leftrightarrow M{I^2} = I{A^2} \Leftrightarrow {\left( {m – 1} \right)^2} + {\left( {n – 1} \right)^2} + {\left( {p – 1} \right)^2} = {\left( {m – 1} \right)^2} + {\left( {n + 5} \right)^2} + {\left( {p + 1} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 3n + p = – 6\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}m + p = 0\\n + p = – 6\\3n + p = – 6\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 6\\n = 0\\p = – 6\end{array} \right.\).

Bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\): \(R = IM = \sqrt {{5^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2} + {{\left( { – 7} \right)}^2}} = 5\sqrt 3 \).

Gọi \(O\) là tâm của hình tròn đáy của hình nón, đặt \(x = IO,x > 0\), khi đó hình nón có bán kính đáy là \(r = \sqrt {{R^2} – I{O^2}} = \sqrt {75 – {x^2}} \).

Thể tích khối nón: \({V_{\left( N \right)}} = \frac{1}{3}\pi .{r^2}.x = \frac{\pi }{3}.\left( {75x – {x^3}} \right)\).

Xét hàm số: \(f\left( x \right) = 75x – {x^3},x \in \left( {0; + \infty } \right)\), \(f’\left( x \right) = 75 – 3{x^2}\) với \(x \in \left( {0;5\sqrt 3 } \right)\).

Cho \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 75 – 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\left( n \right)\\x = – 5\left( l \right)\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;5\sqrt 3 } \right)} f\left( x \right) = 250\) tại \(x = 5\).

Do đó \(\max {V_{\left( N \right)}} = \frac{{250\pi }}{3} \Rightarrow q = 250\).

Vậy \(m + n + p + q = 6 + 0 + \left( { – 6} \right) + 250 = 250\).

=========== Tương tự Câu 50 CỰC TRỊ HÌNH HỌC OXYZ – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024