Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AC = 50\sqrt 5 \;cm\) và \(\sin \widehat {BAC} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\). Quay hình chữ nhật xung quanh cạnh \(BC\) ta được một hình trụ. Tính diện tích xung quanh của hình trụ.

A. \(10000\pi \;c{m^2}\).

B. \(2500\pi \;c{m^2}\).

C. \(5000\pi \;c{m^2}\).

D. \(10000\;c{m^2}\).

Lời giải:

Xét tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(B\), ta được: \(\sin \widehat {BAC} = \frac{{\sqrt 5 }}{5} \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5} \Leftrightarrow BC = \frac{{\sqrt 5 }}{5} \cdot AC = 50\;cm\).

Áp dụng định lý Pythago cho tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(B\), ta được:

\(AB = \sqrt {A{C^2} – B{C^2}} = 100\;cm\).

Ta có: \(h = l = BC = 50\;cm;\;r = AB = 100\;cm\).

Nên \({S_{xq}} = 2\pi rl = 2\pi \cdot 100 \cdot 50 = 10000\pi \;c{m^2}\).