Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 9\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x – 6}}{{ – 3}} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 2}}{2}\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {4\,;\,3\,;\,4} \right)\) song song với đường thẳng \(\Delta \) và tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) có dạng \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\). Tính \(a – b + c\).
A. \(0\).
B. \(1\).
C. \( – 1\).
D. \(2\).
Lời giải:
Gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n = \left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\), \({a^2} + {b^2} + {c^2} > 0\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):a\left( {x – 4} \right) + b\left( {y – 3} \right) + c\left( {z – 4} \right) = 0\).
Do \(\left( P \right)\,{\rm{//}}\,\Delta \) nên \( – 3a + 2b + 2c = 0\)\( \Rightarrow 3a = 2\left( {b + c} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\) nên \(\frac{{\left| { – 3a – b – c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 3\)\( \Leftrightarrow 9\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = {\left( {3a + b + c} \right)^2}\left( * \right)\).
Thay \(3a = 2\left( {a + b} \right)\) vào \(\left( * \right)\) ta được:
\(4{\left( {b + c} \right)^2} + 9\left( {{b^2} + {c^2}} \right) = 9{\left( {b + c} \right)^2} \Leftrightarrow 2{b^2} – 5bc + 2{c^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {2b – c} \right)\left( {b – 2c} \right) = 0\).
TH1: \(b – 2c = 0\), chọn \(c = 1\); \(b = 2\)\( \Rightarrow a = 2\)\( \Rightarrow \)\(\left( P \right):2x + 2y + z – 18 = 0\) .
TH2: \(2b – c = 0\), chọn \(b = 1\); \(c = 2\)\( \Rightarrow a = 2\)\( \Rightarrow \left( P \right):2x + y + 2z – 19 = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{\frac{{19}}{2}}} + \frac{y}{{19}} + \frac{z}{{\frac{{19}}{2}}} = 1\) kiểm tra thấy \(\left( P \right)\,{\rm{//}}\,\Delta \) .
Do mặt phẳng \(\left( P \right):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\). Khi đó: \(a = \frac{{19}}{2}\); \(b = 19\); \(c = \frac{{19}}{2}\).
Vậy: \(a – b + c = 0\).