(Sở Phú Thọ 2022) Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho ứng với mỗi \(x\) có không quá 20 số nguyên \(y\) thỏa mãn \({4^{{x^2} – 5y + 16}} + {2^{ – x – y}} \ge 512\) và \(x + y > 0\)?

A. \(19\).

B. \(20\).

C. \(21\).

D. \(18\).

Lời giải:

Chọn B

Từ giả thiết ta có \({4^{{x^2} – 5y + 16}} + {2^{ – x – y}} \ge 512 \Leftrightarrow {4^{{x^2} – 5y + 16}} + {2^{ – x – y}} – 512 \ge 0\).

Xét hàm số \(f\left( y \right) = {4^{{x^2} – 5y + 16}} + {2^{ – x – y}} – 512\).

Vì \(x + y > 0 \Leftrightarrow y > – x\) nên ta xét \(y \in \left( { – x; + \infty } \right)\).

Có \(f’\left( y \right) = – {5.4^{{x^2} – 5y + 16}}.\ln 4 – {2^{ – x – y}}.\ln 2 < 0,\forall y \in \left( { – x; + \infty } \right)\).

Suy ra hàm số \(f\left( y \right)\) luôn nghịch biến.

Có \(f\left( { – x + 1} \right) = {4^{{x^2} + 5x + 11}} + {2^{ – 1}} – 512 \ge {4^5} + {2^{ – 1}} – 512 > 0,\forall x \in \mathbb{Z}\).

Bảng biến thiên của \(f\left( y \right)\):

Với mỗi số nguyên \(x\), để có không quá 20 số nguyên \(y\) thỏa mãn \(f\left( y \right) \ge 0\) và \(x + y > 0\) thì ta phải có \(f\left( { – x + 21} \right) < 0 \Leftrightarrow {4^{{x^2} + 5x – 89}} + {2^{ – 21}} < 512 \Leftrightarrow {x^2} + 5x – 89 < {\log _4}\left( {512 – {2^{ – 21}}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 5x – 89 – {\log _4}\left( {512 – {2^{ – 21}}} \right) < 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{ – 5 – \sqrt {381 + 4{{\log }_4}\left( {512 – {2^{21}}} \right)} }}{2} < x < \frac{{ – 5 + \sqrt {381 + 4{{\log }_4}\left( {512 – {2^{21}}} \right)} }}{2}\)

\( \Rightarrow – 12,487 < x < 7,487\).

Vì \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { – 12; – 11;…;7} \right\} \Rightarrow \) có 20 số nguyên \(x\) thỏa mãn.