96. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( x \right) < 0,\,\forall x > 0\) và có đạo hàm \(f’\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {0\,;\, + \infty } \right)\) thỏa mãn \(f’\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){f^2}\left( x \right),\,\forall x > 0\) và \(f\left( 1 \right) =  – \frac{1}{2}\). Giá trị của biểu thức \(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + … + f\left( {2020} \right)\) bằng

Câu hỏi:

96. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( x \right) < 0,\,\forall x > 0\) và có đạo hàm \(f’\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {0\,;\, + \infty } \right)\) thỏa mãn \(f’\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){f^2}\left( x \right),\,\forall x > 0\) và \(f\left( 1 \right) =  – \frac{1}{2}\). Giá trị của biểu thức \(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + … + f\left( {2020} \right)\) bằng

A. \( – \frac{{2020}}{{2021}}\).

B. \( – \frac{{2015}}{{2019}}\).

C. \( – \frac{{2019}}{{2020}}\).

D. \( – \frac{{2016}}{{2021}}\).

Lời giải

Ta có:

\(f’\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){f^2}\left( x \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{f’\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = 2x + 1\)\( \Rightarrow \int {\frac{{f’\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}{\rm{d}}x = \int {\left( {2x + 1} \right){\rm{d}}x} } \)\( \Rightarrow  – \frac{1}{{f\left( x \right)}} = {x^2} + x + C\).

Mà \(f\left( 1 \right) =  – \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow C = 0\)\( \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{ – 1}}{{{x^2} + x}}\)\( = \frac{1}{{x + 1}} – \frac{1}{x}\).

\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = \frac{1}{2} – 1\\f\left( 2 \right) = \frac{1}{3} – \frac{1}{2}\\f\left( 3 \right) = \frac{1}{4} – \frac{1}{3}\\ \vdots \\f\left( {2020} \right) = \frac{1}{{2021}} – \frac{1}{{2020}}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + …. + f\left( {2020} \right) =  – 1 + \frac{1}{{2021}}\)\( =  – \frac{{2020}}{{2021}}\).

====================
Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Tích phân