CÂU HỎI: Cho hàm số f(x) thỏa mãn f'(x)2 + f(x).f''(x) = 15(x4) + 12x, x thuộc R và f(0) = f'(0) = 1.Giá trị của f2(1) bằng

Ta có  

\(
{\left[ {f\left( x \right).f’\left( x \right)} \right]^\prime } = {\left[ {f’\left( x \right)} \right]^2} + f\left( x \right).f”\left( x \right) = 15{x^4} + 12x\)

Nguyên hàm 2 vế ta được \(
f\left( x \right).f’\left( x \right) = 3{x^5} + 6{x^2} + C\)

Do f(0)=f′(0)=1⇒C=1

Tiếp tục nguyên hàm 2 vế ta được: 

\(\begin{array}{l}
\smallint f\left( x \right)df\left( x \right) = \smallint \left( {3{x^5} + 6{x^2} + 1} \right)dx\\
\Rightarrow \frac{{{f^2}\left( x \right)}}{2} = \frac{{3{x^6}}}{6} + \frac{{6{x^3}}}{3} + x + D = \frac{1}{2}{x^6} + 2{x^3} + x + D
\end{array}\)

Do \(
f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow D = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{{f^2}\left( x \right)}}{2} = \frac{1}{2}{x^6} + 2{x^3} + x + \frac{1}{2} \Rightarrow {f^2}\left( 1 \right) = 8\)