Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hàm số \(y = f\left( {2 – 2x} \right) + {e^{2x + 1}}\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu hỏi:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hàm số \(y = f\left( {2 – 2x} \right) + {e^{2x + 1}}\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( { – \infty \,; – 1} \right)\).

B. \(\left( { – 2\,;\,0} \right)\).

C. \(\left( {0\,;\,1} \right)\).

D. \(\left( { – 1\,; + \infty } \right)\).

Lời giải

Ta có: \(y = f\left( {2 – 2x} \right) + {e^{2x + 1}}\) nên \(y’ = – 2f’\left( {2 – 2x} \right) + 2{e^{2x + 1}} = 2\left[ { – f’\left( {2 – 2x} \right) + {e^{2x + 1}}} \right]\).

Hàm số trên đồng biến trên \(D\) \( \Leftrightarrow y’ \ge 0,\forall x \in D \Leftrightarrow – f’\left( {2 – 2x} \right) + {e^{2x + 1}} \ge 0,\forall x \in D\)

hay \(f’\left( {2 – 2x} \right) \le {e^{2x + 1}},\forall x \in D\,\,\,\,\left( * \right)\).

Ta có: \(f’\left( {2 – 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 – 2x = – 6\\2 – 2x = – 4\\2 – 2x = – 2\\2 – 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 3\\x = 2\\x = 1\end{array} \right.\) nên:

Nhìn vào bảng biến thiên, ta dễ dàng suy ra \(f’\left( {2 – 2x} \right) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { – 1\,;\,3} \right] \cup \left[ {4\,;\, + \infty } \right)\)

Nên \(x \in \left[ { – 1\,;\,3} \right] \cup \left[ {4\,;\, + \infty } \right)\) thỏa mãn \(\left( * \right)\) .

Từ đó suy ra hàm số \(y = f\left( {2 – 2x} \right) + {e^{2x + 1}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0\,;1} \right)\).

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit