Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {\frac{{\ln x + 1}}{{\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} }} + m} \right|\) trên \(\left[ {1;{e^2}} \right]\) đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

Câu hỏi:
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {\frac{{\ln x + 1}}{{\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} }} + m} \right|\) trên \(\left[ {1;{e^2}} \right]\) đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

A. \(\frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\)

B. \(\frac{{\sqrt 2 – 1}}{4}\)

C. \(\frac{{1 + \sqrt 2 }}{4}\)

D. \(\frac{{\sqrt 2 – 1}}{2}\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Đặt \(t = \ln x;x \in \left[ {1;{e^2}} \right] = > t \in \left[ {0;2} \right]\)

Ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;{e^2}} \right]} y = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {\frac{{t + 1}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }} + m} \right|\). Ta xét \(f\left( t \right) = \frac{{t + 1}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }} + m \Rightarrow f’\left( t \right) = \frac{{1 – t}}{{{{\left( {\sqrt {{t^2} + 1} } \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = 1\)

Mặt khác \(f\left( 0 \right) = 1 + m;f\left( 1 \right) = \sqrt 2 + m;f\left( 2 \right) = \frac{{3\sqrt 5 }}{5} + m\). Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;{e^2}} \right]} y = \max \left\{ {\left| {m + 1} \right|;\left| {m + \sqrt 2 } \right|} \right\} = M\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}M \ge \left| {m + 1} \right|\\M \ge \left| { – \sqrt 2 – m} \right|\end{array} \right. \Rightarrow 2M \ge \sqrt 2 – 1\).

Do đó \(\min M = \frac{{\sqrt 2 – 1}}{2}\) khi \(m + 1 = – \sqrt 2 – m = \pm \left( {\frac{{\sqrt 2 – 1}}{2}} \right)\) khi \(m = – \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\)

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số