Có bao nhiêu giá trị m dương sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{x^3} – 3{m^2}x + 2{m^3} + 9{m^2} + 1} \right|\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) bằng 30?

Câu hỏi:
Có bao nhiêu giá trị m dương sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{x^3} – 3{m^2}x + 2{m^3} + 9{m^2} + 1} \right|\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) bằng 30?

A. \(0\).

B. \(1\).

C. \(2\).

D. Vô số.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^3} – 3{m^2}x + 2{m^3} + 9{m^2} + 1\) xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\)

Ta có: \(g’\left( x \right) = 3{x^2} – 3{m^2}\)

\(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = – m\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

\(g\left( 0 \right) = 2{m^3} + 9{m^2} + 1\)

\(g\left( 3 \right) = 2{m^3} + 28\)

\(g\left( m \right) = 9{m^2} + 1\)

Vì \(0 < g\left( 0 \right);g\left( 3 \right);g\left( m \right)\) và \(g\left( m \right) < g\left( 0 \right)\;\forall m > 0\)

Suy ra

\(\mathop {Maxf\left( x \right)}\limits_{\left[ {0;3} \right]} = Max\left\{ {g\left( 0 \right);g\left( 3 \right)} \right\} = Max\left\{ {2{m^3} + 9{m^2} + 1;\;2{m^3} + 28} \right\}\)

TH 1: \(m > 3 \Rightarrow 2{m^3} + 9{m^2} + 1 > 2{m^3} + 28\)

Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{x^3} – 3{m^2}x + 2{m^3} + 9{m^2} + 1} \right|\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) bằng 30

\( \Leftrightarrow 2{m^3} + 9{m^2} + 1 = 30\)

\( \Leftrightarrow m \approx 1,548\;\left( {ktm} \right)\)

TH 2: \(m < 3 \Rightarrow 2{m^3} + 9{m^2} + 1 < 2{m^3} + 28\)

Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{x^3} – 3{m^2}x + 2{m^3} + 9{m^2} + 1} \right|\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) bằng 30

\( \Leftrightarrow 2{m^3} + 28 = 30\)

\( \Leftrightarrow m = 1\;\left( {tm} \right)\).

Vậy có 1 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số