Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {{x^3} + {x^2} + \left( {{m^2} + 1} \right)x + {m^2} – m – 3} \right|\) trên đoạn \(\left[ { – 1;2} \right]\) không vượt quá \(15\)?

Câu hỏi:
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {{x^3} + {x^2} + \left( {{m^2} + 1} \right)x + {m^2} – m – 3} \right|\) trên đoạn \(\left[ { – 1;2} \right]\) không vượt quá \(15\)?

A. 3.

B. 4

C. 5.

D. Vô số.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Chọn# A.

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + {x^2} + \left( {{m^2} + 1} \right)x + {m^2} – m – 3\) trên đoạn \(\left[ { – 1;2} \right]\).

Ta có \({f^{\,\,’}}\left( x \right) = 3{x^2} + 2x + \left( {{m^2} + 1} \right) = 2{x^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} + {m^2} > 0,\forall x \in \left[ { – 1;2} \right]\)

Suy ra hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên đoạn \(\left[ { – 1;2} \right]\)\( \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( { – 1} \right) = – m – 4\\\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 3{m^2} – m + 11\end{array} \right.\).

Khi đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} y = \mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right|\)\( = \max \left\{ {\left| { – m – 4} \right|;\left| {3{m^2} – m + 11} \right|} \right\}\)\( \le 15\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| { – m – 4} \right| \le 15\\\left| {3{m^2} – m + 11} \right| \le 15\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l} – 15 \le m + 4 \le 15\\ – 15 \le 3{m^2} – m + 11 \le 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 19 \le m \le 11\\3{m^2} – m – 4 \le 0\\3{m^2} – m + 26 \ge 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 19 \le m \le 11\\ – 1 \le m \le \frac{4}{3}\end{array} \right.\). Với \(m \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow m \in \left\{ { – 1;0;1} \right\}\)

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số