Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \(f'(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,(a,b,c,d\) là các số thực). Hàm số \(y = {f^\prime }(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên và \(f(1) = 0\).

Hàm số \(g(x) = f(1 – 2x).f(2 – x)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu hỏi: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \(f'(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,(a,b,c,d\) là các số thực). Hàm số \(y = {f^\prime }(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên và \(f(1) = 0\).

Hàm số \(g(x) = f(1 – 2x).f(2 – x)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\).

B. \(( – \infty ;0)\).

C. \((0;2)\).

D. \((3; + \infty )\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \(g'(x) = – 2f'(1 – 2x).f(2 – x) – f'(2 – x).f(1 – 2x)\).

Từ đồ thị hàm số \(y = {f^\prime }(x)\)ta có \({f^\prime }(x) = a.x\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)\)với \(a > 0\)và có BBT của \(y = f(x)\)

Suy ra \(f(x) \ge 0,\forall x\) nên \(f(2 – x) > = 0\)và \(f(1 – 2x) > = 0\)

Mặt khác \(f'(1 – 2x) = a.(1 – 2x + 1).(1 – 2x).(1 – 2x – 1) = a.(2 – 2x)(1 – 2x)( – 2x)\)

\(f'(2 – x) = a.(2 – x + 1).(2 – x).(2 – x – 1) = a.(3 – x)(2 – x)(1 – x)\)

Để hàm số đồng biến \(g'(x) \ge 0 \Leftrightarrow – 2f'(1 – 2x).f(2 – x) – f'(2 – x).f(1 – 2x) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow 2f'(1 – 2x).f(2 – x) + f'(2 – x).f(1 – 2x) \le 0\)

Ta xét \(\left\{ \begin{array}{l}f’\left( {1 – 2x} \right) < 0\\f’\left( {2 – x} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a.(2 – 2x)(1 – 2x)( – 2x) < 0\\a.(3 – x)(2 – x)(1 – x) < 0\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\)

Bằng cách lập bảng xét dấu ta được \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < x < 2\\x > 3\end{array} \right.\)

Do đó hàm số \(g(x) = f(1 – 2x).f(2 – x)\) đồng biến trên khoảng \((3; + \infty )\).

=======
Thuộc mục: Đơn điệu hàm hợp VDC