Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Biết hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\ln \left( {\sqrt {{x^2} + 1} – x} \right)} \right)\) có đồ thị như hình bên. Hàm số \(f\left( {\frac{x}{2}} \right)\) đồng biến trên

Câu hỏi: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Biết hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\ln \left( {\sqrt {{x^2} + 1} – x} \right)} \right)\) có đồ thị như hình bên. Hàm số \(f\left( {\frac{x}{2}} \right)\) đồng biến trên

A. \(\left( { – \infty ; – 1} \right)\).

B. \(\left( {1; + \infty } \right)\).

C. \(\left( { – \infty ; – 2} \right)\).

D. \(\left( { – 1;1} \right)\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có: \(g’\left( x \right) = \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} – x} \right)}^\prime }}}{{\sqrt {{x^2} + 1} – x}}.f’\left( {\ln \left( {\sqrt {{x^2} + 1} – x} \right)} \right) = \frac{{ – 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.f’\left( {\ln \left( {\sqrt {{x^2} + 1} – x} \right)} \right)\).

\(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( {\ln \left( {\sqrt {{x^2} + 1} – x} \right)} \right) = 0\).

Từ đồ thị, suy ra: \(g’\left( x \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}g’\left( { – 1} \right) = 0\\g’\left( 1 \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}f’\left( {\ln \left( {\sqrt 2 + 1} \right)} \right) = 0\\f’\left( {\ln \left( {\sqrt 2 – 1} \right)} \right) = 0\end{array} \right.\).

Suy ra, \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \ln \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\\x = \ln \left( {\sqrt 2 – 1} \right)\end{array} \right.\) và \(g’\left( 0 \right) = \frac{{ – 1}}{1}.f’\left( {\ln \left( {\sqrt {0 + 1} – 0} \right)} \right) = – f’\left( 0 \right) < 0\)\( \Rightarrow f’\left( 0 \right) > 0\).

Xét hàm số \(y = f\left( {\frac{x}{2}} \right)\), \(y’ = \frac{1}{2}.f’\left( {\frac{x}{2}} \right)\), \(f’\left( {\frac{x}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{2} = \ln \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\\\frac{x}{2} = \ln \left( {\sqrt 2 – 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\ln \left( {\sqrt 2 + 1} \right) = \ln \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)\\x = 2\ln \left( {\sqrt 2 – 1} \right) = \ln \left( {3 – 2\sqrt 2 } \right)\end{array} \right.\).

Ta có: bảng biến thiêu của hàm số \(y = f\left( {\frac{x}{2}} \right)\)

Suy ra hàm số \(y = f\left( {\frac{x}{2}} \right)\) đồng biến trên \(\left( {\ln \left( {3 – 2\sqrt 2 } \right);\ln \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)} \right)\).

Mà \(\left( { – 1;1} \right) \subset \left( {\ln \left( {3 – 2\sqrt 2 } \right);\ln \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)} \right)\), suy ra hàm số \(y = f\left( {\frac{x}{2}} \right)\) đồng biến trên \(\left( { – 1;1} \right)\).

=======
Thuộc mục: Đơn điệu hàm hợp VDC