Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:

Câu hỏi: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {4{x^3} + 1} \right) + m} \right|\) có 7 điểm cực trị?

A. Vô số.

B. \(3\).

C. \(0\).

D. \(1\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có: \(g’\left( x \right) = \frac{{12{x^2}f’\left( {4{x^3} + 1} \right)\left[ {f\left( {4{x^3} + 1} \right) + m} \right]}}{{\left| {f\left( {4{x^3} + 1} \right) + m} \right|}}\).

Dễ thấy: \(12{x^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

Từ bảng biến thiên ta có: \(f’\left( {4{x^3} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4{x^3} + 1 = – 3\\4{x^3} + 1 = 1\\4{x^3} + 1 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = – 1\\x = 1\end{array} \right.\).

Ta có: \(f\left( {4{x^3} + 1} \right) + m = 0\) \(\left( * \right)\)

\( \Leftrightarrow f\left( {4{x^3} + 1} \right) = – m\).

Đặt: \(t = 4{x^3} + 1\)

\( \Rightarrow t’ = 12{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Ta có bảng biến thiên:

Để hàm số \(g\left( x \right)\) có 7 điểm cực trị thì phương trình \(\left( * \right)\) phải có 4 nghiệm bội lẻ khác \(0\) và \( \pm 1\).

Suy ra \(0 < – m < 2 \Rightarrow – 2 < m < 0\).

Vậy có tất cả 1 giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn.

=======