Đề bài: Cho $a,b,c>0$ và $a.b.c=1$Hãy chứng minh: $a+b+c \geq 3$

Lời giải

Đề bài:
Cho $a,b,c>0$ và $a.b.c=1$Hãy chứng minh: $a+b+c \geq 3$
Lời giải

Giả sử ngược lại:
$a+b+c $\Leftrightarrow a^{2}b+ab^{2}+abc$\Leftrightarrow ab^{2}+(a^{2}-3a)b+1Xét $f(b)= ab^{2}+(a^{2}-3a)b+1$
Có: $\Delta=(a^{2}-3a)^{2}-4a$
$=a^{4}-6a^{3}+9a^{2}-4a=a(a^{3}-6a^{2}+9a-4)$
$a(a-1)^{2}.(a-4) \leq 0$
(Vì: $\begin{cases}a,b,c>0 \\ a+b+c$\Rightarrow f(b) \geq 0$
$\Rightarrow $ vô lý  $\Rightarrow $ (ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác