Đề bài: Cho $x+2y+3z=2$.Chứng minh rằng:$\sqrt{1+x^{2}}+2\sqrt{1+y^{2}}+3\sqrt{1+z^{2}}\geq 2\sqrt{10}$

Lời giải

Đề bài:
Cho $x+2y+3z=2$.Chứng minh rằng:$\sqrt{1+x^{2}}+2\sqrt{1+y^{2}}+3\sqrt{1+z^{2}}\geq 2\sqrt{10}$
Lời giải

Trong mặt phẳng $Oxy,$ chọn $A(1,x);B(3,x+2y);C(6,x+2y+3z) \equiv C(6,2)$
Lúc đó:
$OA=\sqrt{1+x^{2}},AB=2\sqrt{1+y^{2}};BC=3\sqrt{1+z^{2}}$
và $OC=\sqrt{6^{2}+2^{2}}=2\sqrt{10}$
Mà: $OA+AB+BC\geq OC$
$\Leftrightarrow \sqrt{1+x^{2}}+2\sqrt{1+y^{2}}+3\sqrt{1+z^{2}}\geq 2\sqrt{10}$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow O, A, B, C $ thẳng hàng
                          $\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{OA}//\overrightarrow{OB} \\ \overrightarrow{OA}//\overrightarrow{OC}  \end{array} \right. \Leftrightarrow\begin{cases} 3x=x+2y\\ 6x=2 \end{cases}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{3}\Rightarrow z=\frac{1}{3}$

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác