Đề bài: $\forall n\in N$\ $\left\{ \begin{array}{l} \end{array} \right.\left. 0,1 \right \},\forall a,b \geq 0$Chứng minh rằng: $|\sqrt[n]{a}-\sqrt[n]{b}|\leq \sqrt[n]{|a-b|}$

Lời giải

Đề bài:
$\forall n\in N$\ $\left\{ \begin{array}{l} \end{array} \right.\left. 0,1 \right \},\forall a,b \geq 0$Chứng minh rằng: $|\sqrt[n]{a}-\sqrt[n]{b}|\leq \sqrt[n]{|a-b|}$
Lời giải

Không giảm tính tổng quát ta xem $a\leq b$
$\Rightarrow x=b-a \geq 0 \Leftrightarrow \begin{cases}b=a+x \\ x\geq 0 \end{cases}$
Vì vậy: BĐT cần chứng minh:
$\Leftrightarrow \sqrt[n]{a+x}-\sqrt[n]{a}\leq \sqrt[n]{x}$
$\Leftrightarrow \sqrt[n]{a+x}\leq \sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{x}$
Mà: $(\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{x})^{n}=\sum\limits_{k=0}^n C^{k}_{n} (\sqrt[n]{a})^{n-k}(\sqrt[n]{x})^{k}$
                                  $\geq C^{0}_{n}(\sqrt[n]{a})^{n} +C^{n}_{n}(\sqrt[n]{x})^{n}\geq a+x$
$\Rightarrow \sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{x}\geq \sqrt[n]{a+x}$
$\Rightarrow$ (ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác