26. Cho hình chóp \(S.ABCD\), \(ABCD\) là hình bình hành. \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và \(I\) là trung điểm của \(SG\). Mặt phẳng \(\left( {ICD} \right)\) chia khối chóp \(S.ABCD\) thành hai khối. Gọi \({V_1}\) là thể tích khối chứa điểm \(S\), \({V_2}\) là thể tích khối còn lại. Tính \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\).

DẠNG TOÁN TỔNG HỢP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN – GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH – TỶ SỐ – CỰC TRỊ HÌNH HỌC
===============
26. Cho hình chóp \(S.ABCD\), \(ABCD\) là hình bình hành. \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và \(I\) là trung điểm của \(SG\). Mặt phẳng \(\left( {ICD} \right)\) chia khối chóp \(S.ABCD\) thành hai khối. Gọi \({V_1}\) là thể tích khối chứa điểm \(S\), \({V_2}\) là thể tích khối còn lại. Tính \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\).

Lời giải

+) Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), \(DI \cap SB = B’\).

\(\left\{ \begin{array}{l}B’ \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {ICD} \right)\\AB\,{\rm{//}}\,CD\\AB \subset \left( {SAB} \right),CD \subset \left( {ICD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {ICD} \right) = d\left\{ \begin{array}{l}{\rm{qua}}\,\,B’\\{\rm{//}}\,AB\end{array} \right.\), \(d \cap SA = A’\).

Thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) khi cắt bởi mặt phẳng \(\left( {ICD} \right)\) là hình thang \(A’B’CD\)( \(A’B’\,{\rm{//}}\,CD\)).

+) Trong tam giác \(SBD\), kẻ \(GG’\,{\rm{//}}\,SB\,\,\,\left( {G’ \in B’D} \right)\).

Từ \(\frac{{GG’}}{{SB’}} = \frac{{IG}}{{IS}} = 1\) và \(\frac{{GG’}}{{BB’}} = \frac{{DG}}{{DB}} = \frac{2}{3}\) suy ra \(\frac{{SB’}}{{BB’}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{SB’}}{{SB}} = \frac{2}{5}\)\( \Rightarrow \frac{{SA’}}{{SA}} = \frac{2}{5}\). 

Chú ý: để chứng minh \(\frac{{SB’}}{{SB}} = \frac{2}{5}\), có thể sử dụng định lý Menelaus với đường thẳng \(B’D\) cắt ba cạnh của tam giác \(SBG\) lần lượt tại \(B’,\,I,\,D\), khi đó \(\frac{{B’S}}{{B’B}}.\frac{{DB}}{{DG}}.\frac{{IG}}{{IS}} = 1 \Rightarrow \frac{{B’S}}{{B’B}}.\frac{3}{2} = 1\)\( \Rightarrow \frac{{B’S}}{{B’B}} = \frac{2}{3}\) \( \Rightarrow \frac{{SB’}}{{SB}} = \frac{2}{5} \Rightarrow \frac{{SA’}}{{SA}} = \frac{2}{5}\).

+) \(\frac{{{V_{S.A’B’CD}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{{V_{S.A’B’D}}}}{{2{V_{S.ABD}}}} + \frac{{{V_{S.B’CD}}}}{{2{V_{S.BCD}}}}\) \( = \frac{1}{2}\left( {\frac{{SB’}}{{SB}}.\frac{{SA’}}{{SA}} + \frac{{SB’}}{{SB}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{4}{{25}} + \frac{2}{5}} \right) = \frac{7}{{25}}\).

Vậy \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{7}{{18}}\). 

=================
CÓ NHIỀU CÁCH GIẢI MỜI CÁC BẠN THAM KHẢO. (STRONG)