8. Cho hàm số bậc bốn\(y = f\left( x \right)\)có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết\(f(0) = 0\) và hàm số\(y = f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới

DẠNG TOÁN CỰC TRỊ HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  ĐỀ BÀI:
8. Cho hàm số bậc bốn\(y = f\left( x \right)\)có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết\(f(0) = 0\) và hàm số\(y = f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Tìm số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {{x^2}} \right) – \frac{2}{3}{x^3}} \right|\).

A. \(3\).

B. \(7\).

C. \(6\) D.\(5\).

Lời giải

_{Đăt $h(x)=f\left(x^{2}\right)-\frac{2}{3} x^{3}$, ta có $h(x)$ liên tuc trên $R$. Ta có:}

_{$h^{\prime}(x)=f^{\prime}\left(x^{2}\right) \cdot 2 x-2 x^{2}=2 x\left[f^{\prime}\left(x^{2}\right)-x\right] .$}

_{$h^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ f^{\prime}\left(x^{2}\right)-x=0(*)\end{array}\right.$}

_{+ Nếu $x<0$ thì $x^{2}>0$. Ta có: $f^{\prime}\left(x^{2}\right) \geq 0 ;-x>0$. Suy ra $\left(^{*}\right)$ vô nghiêm.}

_{+ Nếu $x \geq 0$ thì $\left(^{*}\right) \Leftrightarrow f^{\prime}(t)=\sqrt{t}$ ( đăt $t=x^{2}$ yới $t \geq 0$ )}

Xét đồ thi hàm số $y=f^{\prime}(t) ; y=\sqrt{t}$

Ta thấy: $f^{\prime}(t)=\sqrt{t}$ có 2 nghiêm dương phân biêt là $a$ và 4 .

Suy ra $\left(^{*}\right)$ có 2 nghiêm dương phân biêt $\sqrt{a} ; 2$.

Do đó $h^{\prime}(x)$ có 3 nghiêm phân biệt $\left(h^{\prime}(x)\right.$ đổi dấu khi $x$ qua 3 nghiêm đó) là $0 ; \sqrt{a} ; 2$.

Từ giả thiết $f(x)$ là hàm số bâc bốn, kết hơp đồ thi $f^{\prime}(x)$ suy ra $f(x)$ có dang

$f(x)=a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e, a>0 .$

Ta có: $\lim _{x \rightarrow \pm \infty} h(x)=+\infty, h(0)=f(0)-0=0$.

Nhìn vào lưới ô yuông và đồ thi hàm số $y=f^{\prime}(x)$ ta thấy: Diên tích hình phẳng giới han

bởi đồ thi hàm số $y=f^{\prime}(x), \operatorname{truc} O x$, Oy và đường thẳng $x=4$ nhỏ hơn 4. Do đó ta có:

x$, Oy và đường thẳng $x=4$ nhỏ hơn 4. Do đó ta có:

$\int_{0}^{4} f^{\prime}(x) d x<4 \Leftrightarrow f(4)-f(0)<4 \Leftrightarrow f(4)<4$

Suy ra $h(2)=f(4)-\frac{16}{3}<0$

Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=h(x)$ như sau:

===========