DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Xét các số thực dương \(a,\,b,\,x,\,y\) thỏa mãn \(1 < a \le b \le {a^3}\) và \({a^x} = {b^y} = \sqrt[3]{{ab}}\). Giá trịlớn nhất của biểu thức \(P = x + 3y\) thuộc tập hợp nào dưới đây?
A. \(\left[ {1;\,2} \right)\).
B. \(\left[ {2;\,3} \right)\).
C. \(\left[ {3;\,4} \right)\).
D. \(\left[ {4;\,5} \right)\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có \({a^x} = \sqrt[3]{{ab}}\) \( \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\left( {1 + {{\log }_a}b} \right)\), \({b^y} = \sqrt[3]{{ab}} \Leftrightarrow y = \frac{1}{3}\left( {1 + {{\log }_b}a} \right)\).
\(P = x + 3y = \frac{1}{3}\left( {1 + {{\log }_a}b} \right) + 1 + {\log _b}a\)\( = \frac{4}{3} + \frac{1}{3}{\log _a}b + \frac{1}{{{{\log }_a}b}}\).
Đặt \(t = {\log _a}b\), do \(1 < a \le b \le {a^3}\) \( \Rightarrow 1 \le {\log _a}b \le 3\)\( \Rightarrow t \in \left[ {1;\,3} \right]\)\( \Rightarrow P = \frac{4}{3} + \frac{t}{3} + \frac{1}{t}\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{4}{3} + \frac{t}{3} + \frac{1}{t},\,t \in \left[ {1;\,3} \right]\)
\(f’\left( t \right) = \frac{1}{3} – \frac{1}{{{t^2}}},\,f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \sqrt 3 \\t = – \sqrt 3 \end{array} \right.\). Do \(t \in \left[ {1;\,3} \right] \Rightarrow t = \sqrt 3 \).
\(f\left( 1 \right) = f\left( 3 \right) = \frac{8}{3},\,f\left( {\sqrt 3 } \right) = \frac{{4 + 2\sqrt 3 }}{3}\)\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\,3} \right]} f\left( t \right) = \frac{8}{3}\) khi \(\left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 3\end{array} \right.\).
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = x + 3y\) là \(\frac{8}{3} \in \left[ {2;\,3} \right)\).
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
===========