Có bao nhiêu giá trị nguyên \(\left( {x\,;\,y} \right)\) thỏa mãn điều kiện \(0 \le x \le 2020\) và \({3^{x + 1}} + x + 1 = {3^y} + y\)?

DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu giá trị nguyên \(\left( {x\,;\,y} \right)\) thỏa mãn điều kiện \(0 \le x \le 2020\) và \({3^{x + 1}} + x + 1 = {3^y} + y\)?

A. \(2020\). 

B. \(2021\). 

C. \(2022\). 

D. \(2023\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

– Tự luận:

Ta có: \({3^{x + 1}} + x + 1 = {3^y} + y\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {3^t} + t \Rightarrow f’\left( t \right) = {3^t}.\ln 3 + 1 > 0,\forall t \in \mathbb{R} \Rightarrow \)Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó \(f\left( {x + 1} \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x + 1 = y \Rightarrow x = y – 1\).

Vì \(0 \le x \le 2020 \Leftrightarrow 0 \le y – 1 \le 2020 \Leftrightarrow 1 \le y \le 2021\).

Mà \(y \in \mathbb{Z}\) nên \(y \in \left\{ {1\,;\,2\,;\,3\,;\,…\,;\,2021} \right\}\). Với \(y \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \mathbb{Z}\).

Vậy có 2021 cặp số nguyên \(\left( {x\,;\,y} \right)\)thỏa yêu cầu bài toán.

– Tư duy + Casio:

+ Ta có: \({3^{x + 1}} + x + 1 = {3^y} + y \Leftrightarrow x + 1 = y \Rightarrow x = y – 1\).

+ Vì \(0 \le x \le 2020 \Leftrightarrow 0 \le y – 1 \le 2020 \Leftrightarrow 1 \le y \le 2021\).

Mà \(y \in \mathbb{Z}\) nên \(y \in \left\{ {1\,;\,2\,;\,3\,;\,…\,;\,2021} \right\}\). Với \(y \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \mathbb{Z}\).

Vậy có 2021 cặp số nguyên \(\left( {x\,;\,y} \right)\)thỏa yêu cầu bài toán. 

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

1. ĐẠO HÀM g'(x)

2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)

3. Lập BBT xét dấu g'(x)

4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.

===========