Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\,x + y + z + 1 = 0\), mặt cầu \(\left( S \right):\,\,\,{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = {R^2}\), hai đường thẳng \({d_1}:\,\,\frac{x}{1} = \frac{{y – 2}}{3} = \frac{{z + 4}}{{ – 1}}\) và \({d_2}:\,\,\frac{x}{2} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z + 3}}{1}\). Gọi \(d\) là đường thẳng vuông góc với \(\left( P \right)\) đồng thời cắt cả \({d_1}\), \({d_2}\). Biết rằng có số thực \(R\) sao cho chỉ có một điểm \(M\left( {m;n;p} \right)\) thuộc \(d\) sao cho từ \(M\) có duy nhất một mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\). Khi đó \({m^2} + {n^2} + {p^2} – {R^2}\) bằng

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\,x + y + z + 1 = 0\), mặt cầu \(\left( S \right):\,\,\,{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = {R^2}\), hai đường thẳng \({d_1}:\,\,\frac{x}{1} = \frac{{y – 2}}{3} = \frac{{z + 4}}{{ – 1}}\) và \({d_2}:\,\,\frac{x}{2} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z + 3}}{1}\). Gọi \(d\) là đường thẳng vuông góc với \(\left( P \right)\) đồng thời cắt cả \({d_1}\), \({d_2}\). Biết rằng có số thực \(R\) sao cho chỉ có một điểm \(M\left( {m;n;p} \right)\) thuộc \(d\) sao cho từ \(M\) có duy nhất một mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\). Khi đó \({m^2} + {n^2} + {p^2} – {R^2}\) bằng

A. \(2\).
B. \( – 1\).
C. \(1\).
D. \( – 3\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(A\left( {a;2 + 3a; – 4 – a} \right)\), \(B\left( {2b;1 + b; – 3 + b} \right)\) lần lượt là giao điểm của \(d\) với \({d_1}\) và \({d_2}\). Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { – a + 2b; – 3a + b – 1;a + b + 1} \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\) nên đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) khi \(\frac{{ – a + 2b}}{1} = \frac{{ – 3a + b – 1}}{1} = \frac{{a + b + 1}}{1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{1}{2}\\b = 0\end{array} \right.\) từ đó ta tính được \(\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\) nên \(\left( d \right):\,\,\,\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z + 3}}{1}\).
Do chỉ có một điểm \(M\left( {m;n;p} \right)\) thuộc \(d\) sao cho từ \(M\) có duy nhất một mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) nên đường thẳng \(d\) phải tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) tại điểm \(M\left( {m;n;p} \right)\). Giả sử \(M\left( {t;1 + t; – 3 + t} \right) \in d\), đường thẳng \(d\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) tại điểm \(M\left( {t;1 + t; – 3 + t} \right)\) khi và chỉ khi phương trình \({\left( {t – 1} \right)^2} + {\left( {1 + t} \right)^2} + {\left( { – 3 + t} \right)^2} = {R^2}\) có nghiệm kép, hay \(3{t^2} – 6t + 11 – {R^2} = 0\) có nghiệm kép, tức \(\Delta ‘ = 9 – 3\left( {11 – {R^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow {R^2} = 8\) khi đó \(t = 1\) nên có duy nhất một điểm \(M\left( {1;2; – 2} \right)\) thỏa mãn yêu cầu đầu bài. Khi đó \(m = 1,\,\,n = 2,\,\,p = – 2\) nên \({m^2} + {n^2} + {p^2} – {R^2} = 1\). Vậy chọn
C.