Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y = \left| {{x^2} – 1} \right|\) và \(y = k\), với \(0 < k < 1\). Tìm \(k\) để diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên.
A. \(k = \sqrt[3]{4} – 1\).
B. \(k = \frac{1}{2}\).
C. \(k = \sqrt[3]{4}\).
D. \(k = \sqrt[3]{2} – 1\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\). Lúc dó \(S = 2{S_1} + 2{S_2}\), trong đó \({S_1}\) là diện tích phần gạch sọc ở bên phải \(Oy\) và \({S_2}\) là diện tích phần gạch ca rô trong hình vẽ bên.
Gọi\(A,\)\(B\) là các giao diếm có hoành độ dương của đường thẳng \(y = k\) và đồ thị hàm số\(y = \left| {{x^2} – 1} \right|\), trong đó \(A\left( {\sqrt {1 – k} ;k} \right)\) và \(B\left( {\sqrt {1 + k} ;k} \right)\).
Thco yêu cầu bài toán \(S = 2 \cdot 2{S_1} \Leftrightarrow {S_1} = {S_2}\).
\( \Leftrightarrow \int\limits_0^{\sqrt {1 – k} } {\left( {1 – {x^2} – k} \right){\rm{d}}x} {\rm{\;}} = \int\limits_{\sqrt {1 – k} }^1 {\left( {k – 1 – {x^2}} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^{\sqrt {1 + k} } {\left( {k – {x^2} + 1} \right){\rm{d}}x} \).
\( \Leftrightarrow {\rm{\;}}\left( {1 – k} \right)\sqrt {1 – k} – \frac{1}{3}\left( {1 – k} \right)\sqrt {1 – k} = \frac{1}{3} – \left( {1 – k} \right) – \frac{1}{3}\left( {1 – k} \right)\sqrt {1 – k} \).
\( + \left( {1 – k} \right)\sqrt {1 – k} + \left( {1 + k} \right)\sqrt {1 + k} – \frac{1}{3}\left( {1 + k} \right)\sqrt {1 + k} – \left( {1 + k} \right) + \frac{1}{3}\).
\( \Leftrightarrow {\rm{\;}}\frac{2}{3}\left( {1 + k} \right)\sqrt {1 + k} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {1 + k} } \right)^3} = 2 \Leftrightarrow k = \sqrt[3]{4} – 1\).
Trả lời