Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng \(16m\) và độ dài trục bé bằng\(10m\). Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng \(8m\) và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là \(100.000\) đồng/\(1{m^2}\). Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn.)

DẠNG TOÁN 48 : ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN (TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH)
  Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng \(16m\) và độ dài trục bé bằng\(10m\). Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng \(8m\) và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là \(100.000\) đồng/\(1{m^2}\). Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn.)

A. \(7.862.000\) đồng. 

B. \(7.653.000\) đồng. 

C. \(7.128.000\) đồng. 

D. \(7.826.000\) đồng

LỜI GIẢI CHI TIẾT:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Giả sử elip có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Từ giả thiết ta có \(2a = 16 \Rightarrow a = 8\) và \(2b = 10 \Rightarrow b = 5\)

Vậy phương trình của elip là \(\;\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{5}{8}\sqrt {64 – {x^2}} \left( {{E_1}} \right)}\\{y =  – \frac{5}{8}\sqrt {64 – {x^2}} \left( {{E_2}} \right)}\end{array}} \right.\)

Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường \(\left( {{E_1}} \right);\left( {{E_2}} \right);x =  – 4;x = 4\) và diện tích của dải vườn là \(S = 2\mathop \smallint \nolimits_{ – 4}^4 \frac{5}{8}\sqrt {64 – {x^2}} dx = \frac{5}{2}\mathop \smallint \nolimits_0^4 \sqrt {64 – {x^2}} dx\)

Tính tích phân này bằng phép đổi biến \(x = 8\sin t\), ta được \(S = \frac{{40\pi }}{3} + 20\sqrt 3 \)

Khi đó số tiền là \(T = \left( {\frac{{40\pi }}{3} + 20\sqrt 3 } \right).100000 = 7652891,82 \simeq 7.653.000\).