Trong không gian \(Oxyz\) cho hai điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) \(,B\left( {4;2;3} \right)\) và mặt cầu \((S)\) có bán kính R luôn tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ và đoạn thẳng \(AB\) luôn nằm trong mặt cầu \((S)\). Khi thể tích khối trụ đạt giá trị lớn nhất thì \(\left( \beta  \right)\) đi qua điểm nào sau đây?

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)

===============

Trong không gian \(Oxyz\) cho hai điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) \(,B\left( {4;2;3} \right)\) và mặt cầu \((S)\) có bán kính R luôn tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ và đoạn thẳng \(AB\) luôn nằm trong mặt cầu \((S)\). Khi thể tích khối trụ đạt giá trị lớn nhất thì \(\left( \beta  \right)\) đi qua điểm nào sau đây?

A. \(M\left( { – 1;1;1} \right)\). 

B. \(N\left( { – 4;1;1} \right)\). 

C. \(P\left( {4;1;1} \right)\). 

D. \(Q\left( {4; – 1;1} \right)\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Gọi \(I\left( {1;2;1} \right)\) và \(R = \frac{{AB}}{2} = 3\) lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\).

Gọi \(r,r’\) lần lượt là bán kính của đáy hình trụ và hình nón.

Gọi \(J,K\) là tâm của hai đáy hình trụ \(\left( T \right)\) như hình vẽ.

Ta có \(d\left( {I,\left( \alpha  \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.2 – 2.1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{4}{3}.\)

Suy ra \(r’ = \sqrt {{R^2} – {{\left[ {d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right)} \right]}^2}}  = \frac{{\sqrt {65} }}{3}\)

\(AK = d\left( {A,\left( \alpha  \right)} \right) = 4\)

Ta có \(\frac{{AJ}}{{AK}} = \frac{r}{{r’}} \Rightarrow AJ = \frac{r}{{r’}}AK = r.\frac{{12}}{{\sqrt {65} }}\).

Mặt khác thể tích khối trụ bằng \({V_T} = \pi {r^2}h = \pi {r^2}.JK = \pi {r^2}\left( {AK – AJ} \right) = \pi {r^2}\left( {4 – r.\frac{{12}}{{\sqrt {65} }}} \right).\)

Suy ra \({V’_T} = 8\pi r – \frac{{36}}{{\sqrt {65} }}\pi {r^2}\).

\({V’_T} = 0 \Leftrightarrow 8\pi r – \frac{{36}}{{\sqrt {65} }}\pi {r^2} = 0 \Leftrightarrow r = \frac{{2\sqrt {65} }}{9}\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy thể tích khối trụ đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{1040}}{{243}}\pi \) khi \(r = \frac{{2\sqrt {65} }}{9}\).

Suy ra \(AJ = \frac{8}{3}\) và \(\overrightarrow {AJ}  = \frac{8}{9}\overrightarrow {AI} \).

Do đó \(J\left( {\frac{{10}}{9};\frac{{20}}{9};\frac{7}{9}} \right)\) và \(\left( \beta  \right):x + 2y – 2z – 4 = 0\).

Vậy điểm \(P\left( {4;1;1} \right) \in \left( \beta  \right)\).

=================

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng (left( P right)) đi qua điểm (left( ;;} right)), có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left( right),; + + ne 0), có phương trình là : (Aleft( } right) + Bleft( } right) + Cleft( } right) = 0)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát

Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: (Ax + By + Cz + D = 0) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)