Trong không gian \(Oxyz\) cho hai điểm \(A\left( {\frac{{5 + \sqrt 3 }}{2};\frac{{7 – \sqrt 3 }}{2};3} \right)\), \(B\left( {\frac{{5 – \sqrt 3 }}{2};\frac{{7 + \sqrt 3 }}{2};3} \right)\) và mặt cầu \((S):{(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 3)^2} = 6\). Xét mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\,\,(a,b,c,d \in \mathbb{Z}\) và \(d <  – 5)\) là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua hai điểm \(A,B\). Gọi \(\left( N \right)\) là hình nón có đỉnh là tâm của mặt cầu \((S)\) và có đường tròn đáy là giao tuyến của \((P)\) và \((S)\). Tính giá trị của \(T = \left| {a + b + c + d} \right|\) khi thiết diện qua trục của hình nón \(\left( N \right)\) có diện tích lớn nhất.

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)

===============

Trong không gian \(O xyz\) cho hai điểm \(A\left( {\frac{{5 + \sqrt 3 }}{2};\frac{{7 – \sqrt 3 }}{2};3} \right)\), \(B\left( {\frac{{5 – \sqrt 3 }}{2};\frac{{7 + \sqrt 3 }}{2};3} \right)\) và mặt cầu \((S):{(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 3)^2} = 6\). Xét mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\,\,(a,b,c,d \in \mathbb{Z}\) và \(d <  – 5)\) là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua hai điểm \(A,B\). Gọi \(\left( N \right)\) là hình nón có đỉnh là tâm của mặt cầu \((S)\) và có đường tròn đáy là giao tuyến của \((P)\) và \((S)\). Tính giá trị của \(T = \left| {a + b + c + d} \right|\) khi thiết diện qua trục của hình nón \(\left( N \right)\) có diện tích lớn nhất.

A. \(T = 4\). 

B. \(T = 6\). 

C. \(T = 2\). 

D. \(T = 12\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Nhận xét \(A,B \in \left( S \right)\)

Theo giả thiết mặt cầu có tâm \(I(1;2;3)\)và bán kính \(R = \sqrt 6 .\)

Trung điểm \(M\) của \(AB\) có tọa độ \(M\left( {\frac{5}{2};\frac{7}{2};3} \right)\) và \(\overrightarrow {AB}  = \left( { – \sqrt 3 ;\sqrt 3 ;0} \right)\) suy ra véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm\(A,B\) là \(\overrightarrow u  = (1; – 1;0)\)

Do đó \(\Delta \) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{2} + t\\y = \frac{7}{2} – t\\z = 3\end{array} \right.\)

Dễ thấy \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là \(x + y – 6 = 0\) và \(z – 3 = 0\).

Suy ra mặt phẳng \((P)\) có dạng \(\alpha \left( {x + y – 6} \right) + \beta \left( {z – 3} \right) = 0,{\alpha ^2} + {\beta ^2} \ne 0.\)

Gọi \(\gamma \) là góc tại đỉnh của hình nón \(\left( N \right)\), suy ra diện tích của thiết diện qua trục của hình nón là \(S = \frac{1}{2}{R^2}\sin \gamma  \le \frac{1}{2}{R^2}.\)

Do đó\({S_{m{\rm{ax}}}} = \frac{1}{2}{R^2}\), dấu “=” xảy ra khi góc tại đỉnh của hình nón vuông.

Khi đó: \(d\left( {I,(P)} \right) = \frac{R}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 3  \Leftrightarrow \frac{{\left| { – 3\alpha } \right|}}{{\sqrt {2{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = \sqrt 3  \Leftrightarrow \alpha  =  \pm \beta .\)

Với \(\alpha  = \beta  \Rightarrow (P):x + y + z – 9 = 0.\)

Với \(\alpha  =  – \beta  \Rightarrow (P):x + y – z – 3 = 0\).

Vậy \(T = \left| {a + b + c + d} \right|\)\( = \left| {1 + 1 + 1 – 9} \right| = 6.\).

=================

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng (left( P right)) đi qua điểm (left( ;;} right)), có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left( right),; + + ne 0), có phương trình là : (Aleft( } right) + Bleft( } right) + Cleft( } right) = 0)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: (Ax + By + Cz + D = 0) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)