Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} + {z^2} = 8\) và hai điểm \(A\left( {3\,;\,0\,;\,0} \right)\); \(B\left( {4\,;\,2\,;\,1} \right)\). Gọi \(M\) là điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(MA + 2MB\)

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} + {z^2} = 8\) và hai điểm \(A\left( {3\,;\,0\,;\,0} \right)\); \(B\left( {4\,;\,2\,;\,1} \right)\). Gọi \(M\) là điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(MA + 2MB\)
A.\(2\sqrt 2 \).
B. \(4\sqrt 2 \).
C. \(6\sqrt 2 \).
D. \(3\sqrt 2 \).
LỜI GIẢI CHI TIẾT

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { – 1\,;\,4\,;0} \right)\), bán kính \(R = 2\sqrt 2 \).
Ta có \(IA = \sqrt {{4^2} + {4^2} + 0} = 2\sqrt 2 = 2R\).
Gọi \(E\left( {1\,;\,2\,;0} \right)\) là trung điểm của \(IA \Rightarrow E \in \left( S \right)\). Gọi \(F\left( {0\,;\,3\,;0} \right)\) là trung điểm của \(IE\).
Xét tam giác \(IMF\) vàtam giác \(IAM\) có \(\frac{{IF}}{{IM}} = \frac{1}{2} = \frac{{IM}}{{IA}}\) và góc \(\widehat {MIA}\) chung nên \(\Delta IMF \sim \Delta IAM\)
Do đó \(\frac{{MF}}{{AM}} = \frac{1}{2} \Rightarrow AM = 2MF\).
Ta có \(MA + 2MB = 2MF + 2MB \ge 2BF = 2\sqrt {{4^2} + {1^2} + {1^2}} = 6\sqrt 2 \).
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ M \right\} = BF \cap \left( S \right)\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(MA + 2MB\) là \(6\sqrt 2 \).
========

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)