Cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z + 2}}{2}\) và hai điểm \(A(1\,;\,1\,;\,0),\)\(B( – 1\,;\,0\,;\,1).\) Biết điểm \(M(a;b;c)\) thuộc \(\Delta \) sao cho biểu thức \(T = \left| {MA – MB} \right|\) đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tổng \(a – b + c\)bằng:

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============

Cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z + 2}}{2}\) và hai điểm \(A(1\,;\,1\,;\,0),\)\(B( – 1\,;\,0\,;\,1).\) Biết điểm \(M(a;b;c)\) thuộc \(\Delta \) sao cho biểu thức \(T = \left| {MA – MB} \right|\) đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tổng \(a – b + c\)bằng:
A.\(8\).
B. \(8 + \sqrt {33} \).
C. \(8 + \frac{{\sqrt {33} }}{3}\).
D. \(8 + \frac{{4\sqrt {33} }}{3}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
\(\Delta \) qua \(C( – 1\,;\,1\,;\, – 2),\)và có vectơ chỉ phương\(\overrightarrow u = (1; – 1;2)\)
\(\overrightarrow {AB} = ( – 2\,;\, – 1\,;\,1);\)\(\overrightarrow {AC} = ( – 2\,;\,0\,;\, – 2)\).
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow u } \right]\overrightarrow {AC} \ne 0\)nên\(AB;\)\(\Delta \) không đồng phẳng
Vì điểm \(M\) thuộc \(\Delta \) nên ta có \(M( – 1 + t\,;\,1 – t\,;\, – 2 + 2t),\)\(t \in \mathbb{R}\). Lúc đó
\(P = \left| {MA – MB} \right| = \left| {\sqrt {{{\left( {t – 2} \right)}^2} + {t^2} + {{\left( {2t – 2} \right)}^2}} – \sqrt {{{\left( { – t} \right)}^2} + {{\left( {t – 1} \right)}^2} + {{\left( {2t – 3} \right)}^2}} } \right|\)
\( = \left| {\sqrt {6{t^2} – 12t + 8} – \sqrt {6{t^2} – 14t + 10} } \right|.\)
\(P = \sqrt 6 \left| {\sqrt {{{\left( {t – 1} \right)}^2} + \frac{1}{3}} – \sqrt {{{\left( {t – \frac{7}{6}} \right)}^2} + \frac{{11}}{6}} } \right|\)
Đặt \(\overrightarrow u = \left( {t – 1;\,\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right),\)\(\overrightarrow v = \left( {t – \frac{7}{6}\,;\frac{{\sqrt {11} }}{6}} \right)\). Ta có\(\left| {|\overrightarrow u | – |\overrightarrow v |} \right| \le \left| {\overrightarrow u – \overrightarrow v } \right|\).
Tức là \(P \le \sqrt 6 .\;\sqrt {{{\left( {\frac{1}{6}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3} – \frac{{\sqrt {11} }}{6}} \right)}^2}} \).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{{t – 1}}{{t – \frac{7}{6}}} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}}{{\frac{{\sqrt {11} }}{6}}} \Leftrightarrow t = 3 + \frac{{\sqrt {33} }}{3}\).
Vớita có \(a – b + c = 4t – 4 = 8 + \frac{{4\sqrt {33} }}{3}\).
========

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)