Cho bất phương trình:\(\,lo{g_4}\frac{{4{x^2} – 4x + 2}}{{ – 2{x^3} + 2{x^2} + 2m – 2}} + {x^3} + {x^2} \ge 2x – 2 + m\;\;\left( 1 \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi số thực \(x \in \left[ {1;2} \right]\)? A. \(6\). B. \(8\). C. \(7\). D.\(5\).

Cho bất phương trình:\(\,lo{g_4}\frac{{4{x^2} – 4x + 2}}{{ – 2{x^3} + 2{x^2} + 2m – 2}} + {x^3} + {x^2} \ge 2x – 2 + m\;\;\left( 1 \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi số thực \(x \in \left[ {1;2} \right]\)?
A. \(6\). B. \(8\). C. \(7\). D.\(5\).
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM

Điều kiện \( – 2{x^3} + 2{x^2} + 2m – 2 > 0 \Leftrightarrow 2m > g\left( x \right) = 2{x^3} – 2{x^2} + 2\)
– Phương trình (1)
\( \Leftrightarrow \,lo{g_2}\left( {4{x^2} – 4x + 2} \right) + 4{x^2} – 4x + 2 \ge lo{g_2}\left( { – 2{x^3} + 2{x^2} + 2m – 2} \right) + \left( { – 2{x^3} + 2{x^2} + 2m – 2} \right)\)
Xét hàm số: \(f(t)\, = t + {\log _2}t\) với \(t > 0\), có \(f'(t) = 1 + \frac{1}{{t\ln 2}} > 0\), \(\forall t > 0\).
Nên bất phương trình (2) \(4{x^2} – 4x + 2 \ge – 2{x^3} + 2{x^2} + 2m – 2\) \( \Leftrightarrow h\left( x \right) = {x^3} + {x^2} – 2x + 2 \ge m\).
– Xét hàm số: \(h(x) = {x^3} + {x^2} – 2x + 2\) với \(x \in \left[ {1;2} \right]\), có \(h’\left( x \right) = 3{x^2} + 2x – 2 > 0\) với \(\forall x \in \left[ {1;2} \right]\).
Hàm số \(g(x)\) đồng biến trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\).
– Xét hàm số: \(g\left( x \right) = 2{x^3} – 2{x^2} + 2\) với \(x \in \left[ {1;2} \right]\), có \(g’\left( x \right) = 6{x^2} – 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = \frac{2}{3}}\end{array}} \right.\)
Ta có \(g\left( 1 \right) = 2;g\left( 2 \right) = 10;g\left( {\frac{2}{3}} \right) = \frac{{46}}{{27}}\)
Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi số thực \(x \in \left[ {1;2} \right]\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2m > \mathop {max}\limits_{\left[ {1;2} \right]} g\left( x \right)}\\{m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} h\left( x \right)}\end{array} \Leftrightarrow } \right.5 < m \le 10\). - Vậy có 5 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu của đề bài.