Cho \(x,y\) là các số thực sao cho \(x.y\) đạt giá trị nhỏ nhất và thỏa mãn \(3\left( {{x^2} + 1} \right) + {\log _3}\left( {\frac{{{x^2} + {y^2} + 1}}{{3xy}}} \right) = 3y\left( {3x – y} \right)\). Tìm giá trị của biểu thức \(P = {x^{2020}} + {y^{2022}}\) A. \(2\). B. \(1\). C. \(\frac{1}{2}\). D. \(4\).

Cho \(x,y\) là các số thực sao cho \(x.y\) đạt giá trị nhỏ nhất và thỏa mãn \(3\left( {{x^2} + 1} \right) + {\log _3}\left( {\frac{{{x^2} + {y^2} + 1}}{{3xy}}} \right) = 3y\left( {3x – y} \right)\). Tìm giá trị của biểu thức \(P = {x^{2020}} + {y^{2022}}\)
A. \(2\). B. \(1\). C. \(\frac{1}{2}\). D. \(4\).
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM

Điều kiện: \(xy > 0\)
Ta có \(3\left( {{x^2} + 1} \right) + {\log _3}\left( {\frac{{{x^2} + {y^2} + 1}}{{3xy}}} \right) = 3y\left( {3x – y} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) + 3\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) = {\log _3}\left( {3xy} \right) + 3.\left( {3xy} \right)\).
Xét hàm số: \(f\left( t \right) = {\log _3}t + 3t\) với \(t > 0\).
Ta có \(f’\left( t \right) = 3 + \frac{1}{{t\ln 3}} > 0,\forall t > 0\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Khi đó: \({\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) + 3\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) = {\log _3}\left( {3xy} \right) + 3.\left( {3xy} \right)\)\( \Leftrightarrow f\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) = f\left( {3xy} \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 1 = 3xy\)\( \Leftrightarrow 3xy – 1 = {x^2} + {y^2} \ge 2xy \Rightarrow xy \ge 1\).
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = – 1\\y = – 1\end{array} \right.\)
Khi đó \(P = {x^{2020}} + {y^{2022}} = 2\).