Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, và $SB$ vuông góc với $(ABCD)$. Lấy điểm $M$ trên $SA  (M\neq S, M\neq A)$. Giả sử $(BCM)\cap SD=N$. Chứng minh rằng sáu điểm $A,B,C,D,M,N$ không cùng nằm trên một mặt cầu.

Lời giải

Do $BC//AD\Rightarrow BC// (SAD)$
$\Rightarrow (MBC)\cap (SAD)=MN$, trong đó $N\in SD, MN//BC$.
Do $SB\bot (ABCD), AD\bot AB\Rightarrow SA\bot AD $ ($AD$ là hình chiếu vuông góc của $SD$ lên $(ABCD)$)(định lí ba đường vuông góc).
$\Rightarrow MNDA$ là hình thang vuông tại $A$ và $M$.

Giả sử sáu điểm $A,B,C,D,M,N$ cùng nằm trên một mặt cầu $(S)$. Như vậy mặt cầu $(S)$ phải cắt mặt phẳng $(SAD)$ theo một giao tuyến là đường tròn $(C)$.
Vì $A,D,M,N$ vừa nằm trên $(S),$ vừa nằm trên $(SAD)\Rightarrow A,D,M,N$ phải nằm trên $(C)$. Nói khác đi $AMND$ là tứ giác nội tiếp đường tròn $(C)$.
Đó là điều vô lí vì $AMND$ là hình thang vuông thực sự $(MN//AD; MNVậy giả thiết phản chứng là sai, tức là $6$ điểm $A,B,C,D,M,N$ không cùng nằm trên một mặt cầu $\Rightarrow $ đpcm.